帮我解答一下第九提

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 00:10:48

解题思路：先根据特殊的结论进行猜想，然后用数学归纳法证明。
解题过程：
首先，当n为奇数时，我们来看看2^n是不是3的倍数：
2^1=2=3-1
2^3=8=3^2-1
2^5=32=3^11-1
所以猜想当n为奇数时，2^n+1是3的倍数，用数学归纳法来验证
只针对奇数的数学归纳法分为两步：
1. 证明当 n = 1 时命题成立。
2. 证明如果 n = p 成立，那么可以推导出 n = p+2 也成立。
1) 当 n = 1 时，2^1+1=3，是3的倍数
2) 如果 n = p 时，2^p+1是3的倍数。设2^p+1=3q，q∈N+，则
2^(p+2)+1=(2^2)*(2^p)+1=4*(2^p)+1=4*(2^p)+4-3=4*[(2^p)+1]-3=(4*3q)-3=3(4q-1)
∵q∈N+
∴4q-1∈N+
∴2^(p+2)+1也是3的倍数
∴由1)，2)得到，当n为奇数时，2^n+1是3的倍数

然后再来看2^(n+1)
2^(n+1)=2*2^n=2*2^n+2-2=2*(2^n+1)-2
∵2^n+1是3的倍数
∴2^(n+1)-1=2*(2^n+1)-2-1=2*(2^n+1)-3是3的倍数
所以对于An={x|2^n＜x＜2^（n+1）,且x=3m，m∈N+}
当n为奇数时，2^n+1是大于2^n的最小的3的倍数，所以An中x的最小数为2^n+1
当n为奇数时，2^(n+1)-1是小于2^(n+1)的最大的3的倍数，所以An中x的最大数为2^(n+1)-1

∵x=3m，m∈N+
∴An中所有元素构成公差为3的等差数列
∵An中x的最小数为2^n+1，最大数为2^(n+1)-1
∴An中元素的个数为[2^(n+1)-1-(2^n+1)]/3+1=[2*(2^n)-1-(2^n)-1]/3+1=[(2^n)-2]/3+1=[(2^n)+1]/3
∴根据等差数列求和公式：Sn=(a1+an)*n/2(首项加末项乘以项数除以2)
∴SAn={[2^n+1]+[2^(n+1)-1]}*{[(2^n)+1]/3}/2={2^n+1+[(2*2^n)-1]}*[(2^n)+1]/6
∴SAn=[3*(2^n)]*[(2^n)+1]/6=[2^(n-1)]*[(2^n)+1]={[2^(n-1)]*(2^n)}+2^(n-1)=2^(2n-1)+2^(n-1)

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