∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz,区域是椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的内部

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 03:24:08

以为是曲面积分,咋有方向的呢
令u = x/a、v = y/b、w = z/c
∂(x,y,z)/∂(u,v,w) dxdydz = abc dudvdw
则Ω：(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1 变为 Γ：u² + v² + w² = 1
∫∫∫ (x² + y² + z²) dxdydz
= ∫∫∫ [(au)² + (bv)² + (cw)²] abc dudvdw
= abc∫∫∫ (a²u² + b²v² + c²w²) dudvdw、由对称性,三个积分都是相等的
= abc(a² + b² + c²)∫∫∫ u² dudvdw
= abc(a² + b² + c²)/3 * ∫∫∫ (u² + v² + w²) dudvdw、轮换对称
= (1/3)abc(a² + b² + c²) * ∫(0→2π) dθ ∫(0→π) sinφ dφ ∫(0→1) r⁴ dr
= (1/3)abc(a² + b² + c²) * 2π * - [ cosφ ]：(0→π) * (1/5)[ r⁵ ]：(0→1)
= (1/3)abc(a² + b² + c²) * 2π * 2 * 1/5
= (4π/15)abc(a² + b² + c²)
再问：轮换对称是什么意思
再答：如果被积区域关于三个坐标面都对称，函数f(x，y，z)，把x、y、z的位置分别调转而不改变原本函数的话，那函数具有轮对对称例如这个f(u，v，w) = u² + v² + w² 把u、v和w对调得f(v，w，u) = v² + w² + u² = u² + v² + w² = f(u，v，w)，所以具有轮换对称性即∫∫∫ u² dV = ∫∫∫ v² dV = ∫∫∫ w² dV 有∫∫∫ (u² + v² + w²) dV = 3∫∫∫ u² dV So ∫∫∫ u² dV = (1/3)∫∫∫ (u² + v² + w²) dV、这样再用球面坐标好做了

求三重积分∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz 曲面是x^2+y^2=z^2 和z=2围成的区域计算三重积分∫∫∫xy^2z^3dxdydz,其中积分面积是由z=xy,y=x,x=1,z=0所围成的闭区域, 计算三重积分∫∫∫xy^2z^3dxdydz,其中积分面积是由z=xy,y=x,x=1,z=0所围成的闭区域. 求函数u=x^2+y^2+z^2在椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1上点M.(x.,y.,z.)处计算∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz, 积分区域由曲面z=2-x^2 和z=x^2+2y^2所围成的闭区域,在线等计算三重积分∫∫∫(x+y+z)^2dxdydz,其中积分局域是x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≤1 计算三重积分∫∫∫(x+y+x)dxdydz其中Ω,曲面z^2=x^2+y^2与平面z=1围成的闭区域椭球面的三重积分求x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2的三重积分,其中积分区域由曲面x^2/a^2+y^2/b 计算三重积分fffz^2dxdydz,其中是由椭圆球x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1所围成的空间区域计算三重积分 ∫∫∫（x^2+y^2+z）dxdydz 其中D为曲面z=1-x^2-y^2与xOy平面所围成的区域. 求椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1在第一卦限内的点,使得椭球面过该点的切平面与三个坐标面围成的四计算三重积分,下标积分区域为Ω,求∫∫∫z^3dxdydz ,Ω为x^2+y^2+z^2≤1 ,z+1≥根号下x^2+y