作业帮函数(函数关系式 和函数解析式的基本定义)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 07:10:26
函数关系式和函数解析式是否相同？原因是什么？
解题思路： 关系式是纯理论的，是都是字母的 而解析式是可以有数字的
解题过程：
求二次函数解析式既是初中数学的重点，也是中考中的热点，因此，学会并掌握求二次函数解析式的方法是必要的。二次函数的解析式常见的有：
一般式：
顶点式：
是抛物线顶点。
两根式：
，
和
是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
如图
（
（
解：（
图
例1. （2005年安徽省）1，直线
与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到
。1）在图1中画出；2）求经过
三点的抛物线的解析式。1）如图1所示。1 （
由题意知
所以
解这个方程组，得
所以抛物线的解析式是
。
注：当已知二次函数图象上三个点的坐标，可选用一般式求解。
二、顶点式法（最值法）
2）设该抛物线的解析式：
A、
三点的坐标分别为
图
（
（
解：（
设抛物线的解析式是
把（
所以
（
所以
所以
所以两景观灯间的距离为
注：当已知二次函数图象的顶点及另一点的坐标时，可选用顶点式。
三、乘积式法（双根式法）
例
如图
（
（
图
例2. （2005年江苏省泰州市）2－a是泰州市某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，若把拱桥的截面图放在直角坐标系中（如图2－b）。1）求抛物线的解析式；2）求两盏景观灯之间的水平距离。1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）。0，1）代入，得：
2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，所以
5米。3. （2005年江苏省无锡市）3，一次函数
的图象与x轴、y轴分别交于点A（6，0）和B（0，
），线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D。1）确定这个一次函数的关系式；2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式。3 解：（
又因为一次函数的图象过
所以
所以一次函数关系式为
（
抛物线的函数关系式为：
因为
因为
在
所以
所以
，所以
所以
又因为抛物线与
所以
，所以
所以抛物线的函数关系式为
即
注：当已知二次函数图象与
四、轴对称法
例
如图
（
（
图
1）因为一次函数的图象经过B（0，
），所以
A（6，0），所以
2）设点C的坐标为（m，0）OA＞OB，所以点C在x轴正半轴上，即
，连结BC。CD垂直平分AB，所以
Rt△OBC中，
C点坐标为（2，0）y轴交于B（0，
）x轴的两个交点及图象上另一点时，宜用乘积式（两根式）求解。4. （2003年四川省）4，直线
分别与x轴、y轴交于点A、B。⊙E经过原点O及A、B两点。1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标。2）写出图象经过O、C、A三点的二次函数的解析式。4 解：（
所以
因为
所以
因为∠
连结
所以
所以
1）易得A（3，0）、B（0，
）OB⊥OA，所以∠AOB＝90°AB为⊙E的直径COD＝∠CBO，所以
EC交OA于点N，则EC⊥OA所以
所以
（
即
，所以
因为抛物线过坐标原点，所以
又点在图象上
所以
即
由
所以过
从以上几例可知：选择恰当的函数解析式，常能简化计算过程，达到迅速解题的目的。另外，在求二次函数解析式时还应注意以下问题。
2）因为点O、A关于抛物线的对称轴是对称的，故其中点
必在抛物线的对称轴上，所以
<1>、<2>解得：
O、A、C的二次函数的解析式为
1.
例
解：设图象与
由题设得：
因为图象过点（
所以
所以二次函数的解析式是
即
整体代入5. 二次函数的图象过点（0，
），与x轴两个交点的横坐标之和为
，之积为
。求：二次函数的解析式。x轴的两个交点的横坐标为
，则二次函数的解析式为：0，） 2.
根据题设条件，画出抛物线草图可以帮助我们找到解题途径进行求解。
例
（
（
解：（
所以图象与
（
于是得
解得
或
所以二次函数解析式为：
或
形数结合，以形示数6. 已知二次函数
1）试判断此函数的图象与x轴有无交点，并加以证明；2）当函数图象的顶点到x轴的距离为
时，求二次函数的解析式。1）因为
x轴有两个不同的交点2）因为二次项系数为正，图象的开口向上，又图象与x轴有两个不同的交点，所以顶点在x轴下方，其纵坐标为负，
确定二次函数的解析式，实质上是要确定上述式子中的三个常数，因此需要三个独立的已知条件建立三个方程组成方程组，才能求解。下面以中考试题为例，供同学们参考。
一、待定系数法
最终答案：略
解题过程：
求二次函数解析式既是初中数学的重点，也是中考中的热点，因此，学会并掌握求二次函数解析式的方法是必要的。二次函数的解析式常见的有：
一般式：
顶点式：
是抛物线顶点。两根式：
，和是抛物线与x轴两个交点的横坐标。 如图
（
（
解：（
图
例1. （2005年安徽省）1，直线
与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到。1）在图1中画出；2）求经过三点的抛物线的解析式。1）如图1所示。1 （由题意知
所以
解这个方程组，得
所以抛物线的解析式是
。注：当已知二次函数图象上三个点的坐标，可选用一般式求解。
二、顶点式法（最值法）
2）设该抛物线的解析式：
A、三点的坐标分别为 图
（
（
解：（
设抛物线的解析式是
把（
所以
（
所以
所以
所以两景观灯间的距离为
注：当已知二次函数图象的顶点及另一点的坐标时，可选用顶点式。
三、乘积式法（双根式法）
例
如图
（
（
图
例2. （2005年江苏省泰州市）2－a是泰州市某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，若把拱桥的截面图放在直角坐标系中（如图2－b）。1）求抛物线的解析式；2）求两盏景观灯之间的水平距离。1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）。0，1）代入
，得：2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，所以5米。3. （2005年江苏省无锡市）3，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（6，0）和B（0，），线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D。1）确定这个一次函数的关系式；2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式。3 解：（又因为一次函数的图象过
所以
所以一次函数关系式为
（
抛物线的函数关系式为：
因为
因为
在
所以
所以
，所以所以
又因为抛物线与
所以
，所以所以抛物线的函数关系式为
即
注：当已知二次函数图象与
四、轴对称法
例
如图
（
（
图
1）因为一次函数的图象经过B（0，
），所以A（6，0），所以2）设点C的坐标为（m，0）OA＞OB，所以点C在x轴正半轴上，即，连结BC。CD垂直平分AB，所以Rt△OBC中，C点坐标为（2，0）y轴交于B（0，）x轴的两个交点及图象上另一点时，宜用乘积式（两根式）求解。4. （2003年四川省）4，直线分别与x轴、y轴交于点A、B。⊙E经过原点O及A、B两点。1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标。2）写出图象经过O、C、A三点的二次函数的解析式。4 解：（所以
因为
所以
因为∠
连结
所以
所以
1）易得A（3，0）、B（0，
）OB⊥OA，所以∠AOB＝90°AB为⊙E的直径COD＝∠CBO，所以EC交OA于点N，则EC⊥OA所以 所以
（
即
，所以因为抛物线过坐标原点，所以
又点
在图象上所以
即
由
所以过
从以上几例可知：选择恰当的函数解析式，常能简化计算过程，达到迅速解题的目的。另外，在求二次函数解析式时还应注意以下问题。
2）因为点O、A关于抛物线的对称轴是对称的，故其中点必在抛物线的对称轴上，所以<1>、<2>解得：O、A、C的二次函数的解析式为 1. 例
解：设图象与
由题设得：
因为图象过点（
所以
所以二次函数的解析式是
即
整体代入5. 二次函数的图象过点（0，
），与x轴两个交点的横坐标之和为，之积为。求：二次函数的解析式。x轴的两个交点的横坐标为，则二次函数的解析式为：0，） 2. 根据题设条件，画出抛物线草图可以帮助我们找到解题途径进行求解。
例
（
（
解：（
所以图象与
（
于是得
解得
或所以二次函数解析式为：
或形数结合，以形示数6. 已知二次函数
1）试判断此函数的图象与x轴有无交点，并加以证明；2）当函数图象的顶点到x轴的距离为时，求二次函数的解析式。1）因为x轴有两个不同的交点2）因为二次项系数为正，图象的开口向上，又图象与x轴有两个不同的交点，所以顶点在x轴下方，其纵坐标为负，确定二次函数的解析式，实质上是要确定上述式子中的三个常数，因此需要三个独立的已知条件建立三个方程组成方程组，才能求解。下面以中考试题为例，供同学们参考。
一、待定系数法
最终答案：略