已知a>0,b>0,且1/a+1/b=1.求证:(a+b)的n次方-a的n次方-b的n次方≥2的2
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 07:11:45
已知a>0,b>0,且1/a+1/b=1.求证:(a+b)的n次方-a的n次方-b的n次方≥2的2
n次方-2的n+1次方(n∈N*)
n次方-2的n+1次方(n∈N*)
a,b大于0,且1/a +1/b =1,
∴a+b=ab=4.
下面用数学归纳法.
n=1时左=0=右.
n=2时左=(a+b)^2-a^2-b^2=2ab>=8=右.
n=3时左=(a+b)^3-a^3-b^3=3ab(a+b)>=48=右.
假设n=3)时不等式都成立,那么
(a+b)^(k+1)-a^(k+1)-b^(k+1)
=(a+b)[(a+b)^k-a^k-b^k]+ab[a^(k-1)+b^(k-1)]
>=4[2^(2k)-2^(k+1)]+8[(a+b)/2]^(k-1)
>=2^[2(k+1)]-2^(k+3)+8*2^(k-1)
=2^[2(k+1)]-2^[(k+1)+1],
其中a^(k-1)+b^(k-1)>=2[(a+b)/2]^(k-1)是利用y=x^n(x>0,n>=2)是下凸函数.
∴n=k+1时不等式也成立.
∴对任意的n∈N+,不等式都成立
∴a+b=ab=4.
下面用数学归纳法.
n=1时左=0=右.
n=2时左=(a+b)^2-a^2-b^2=2ab>=8=右.
n=3时左=(a+b)^3-a^3-b^3=3ab(a+b)>=48=右.
假设n=3)时不等式都成立,那么
(a+b)^(k+1)-a^(k+1)-b^(k+1)
=(a+b)[(a+b)^k-a^k-b^k]+ab[a^(k-1)+b^(k-1)]
>=4[2^(2k)-2^(k+1)]+8[(a+b)/2]^(k-1)
>=2^[2(k+1)]-2^(k+3)+8*2^(k-1)
=2^[2(k+1)]-2^[(k+1)+1],
其中a^(k-1)+b^(k-1)>=2[(a+b)/2]^(k-1)是利用y=x^n(x>0,n>=2)是下凸函数.
∴n=k+1时不等式也成立.
∴对任意的n∈N+,不等式都成立
如果A>B>0,试证明a的1/n次方大于b的1/n次方.(n∈N,n≥2)
已知a,b,c为三角形的三边,且a的平方+b的平方=c的平方,又n∈N且n>2,求证:c的n次方>a的n次方+b的n次方
(3a的n+2次方b-2a的n次方b的n-1次方+3b的n次方)*5a的n次方b的n+3次方(n为正整数,n大于1)
已知2a的3次方+m次方b的5次方-9a的4次方b的n次方+1=-7a的4次方b的5次方,求(-2m+n)的n
求证(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方
请计算 (a-b)的2n-1次方乘以(b-a)的2n次方
1+2+3+···+n=m且ab互为倒数则化简(a×b的n次方)·a的2次方×b的n-1次方×···×(a的n-1次方b
已知-5a的m+1次方b的2n-1次方×2a的n次方b的4次方=-10a的4次方b的5次方,求m-n的值
已知(2a的m次方b的m+n次方)的3次方=8a的9次方b的15次方,求m、n
(b-a)的3次方*(a-b)的N次方-(a-b)的N+1次方*(b-a)的2次方
因式分解:a的n次方b的2n次方-a的n次方
A=a的m 次方加a的负m次方 与 B=a的n 次方加 负a的n次方 比较A B的大小 m>n>0 a>o 且a不等于1