作业帮证明 N个正数算术平均数不小于几何平均数
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 18:15:20
证明 N个正数算术平均数不小于几何平均数
证明
如果
a1,a2,.an ∈ R+,n>1且n∈N+
求证
a1+a2.an/n ≥n√a1a2...an
上面是N次根号a1a2...an
顺便把当n=3时的证明过程写一下
证明
如果
a1,a2,.an ∈ R+,n>1且n∈N+
求证
a1+a2.an/n ≥n√a1a2...an
上面是N次根号a1a2...an
顺便把当n=3时的证明过程写一下
n=3时
因为(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3*(ab^2+a^2b+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c)+6abc
而(ab^2+a^2b+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c)=a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)≥2abc+2bac+2cab=6abc
而a^3+b^3+c^3≥3abc
所以(a+b+c)^3≥3abc+3*6abc+6abc=27abc
所以,两边开立方得a+b+c≥3*(3√abc)
得证
因为(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3*(ab^2+a^2b+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c)+6abc
而(ab^2+a^2b+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c)=a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)≥2abc+2bac+2cab=6abc
而a^3+b^3+c^3≥3abc
所以(a+b+c)^3≥3abc+3*6abc+6abc=27abc
所以,两边开立方得a+b+c≥3*(3√abc)
得证