作业帮解析几何证明题 救命啊~~~~~
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 20:03:46
解析几何证明题 救命啊~~~~~
1.证明平面Ax+By+Cz+D=0(D>0)与二次曲面（x^2/a）+(y^2/b)+(z^2/c)=1,abc不=0 相切的充分必要条件是aA^2+bB^2+cC^2=D^2
2. a1 b1 c1
设A= a2 b2 c2 是可逆矩阵,则直线
a3 b3 c3
x/(a1-a2)=y/(b1-b2)=z/(c1-c2)与x/(a2-a3)=y/(b2-b3)=z/(c2-c3)的位置关系是____(相交、平行、重合、异面)
请大家帮帮忙吧 步骤最好祥尽一点 选中了我一定会加很多分的 !
1.证明平面Ax+By+Cz+D=0(D>0)与二次曲面（x^2/a）+(y^2/b)+(z^2/c)=1,abc不=0 相切的充分必要条件是aA^2+bB^2+cC^2=D^2
2. a1 b1 c1
设A= a2 b2 c2 是可逆矩阵,则直线
a3 b3 c3
x/(a1-a2)=y/(b1-b2)=z/(c1-c2)与x/(a2-a3)=y/(b2-b3)=z/(c2-c3)的位置关系是____(相交、平行、重合、异面)
请大家帮帮忙吧 步骤最好祥尽一点 选中了我一定会加很多分的 !
1.证明平面Ax+By+Cz+D=0(D>0)与二次曲面（x^2/a）+(y^2/b)+(z^2/c)=1,abc不=0 相切的充分必要条件是aA^2+bB^2+cC^2=D^2
若平面与曲面相切,则平面法向量(A,B,C)与曲面在切点法向量(2x/a,2y/b,2z/c)成比例：A=kx/a,B=ky/b,C=kz/c.(1).
kx^2/a+ky^2/b+kz^2/c+D=0,
k(x^2/a+y^2/b+z^2/c)+D=0,k=-D.
aA^2+bB^2+cC^2
=k^2x^2/a+k^2y^2/b+k^2z^2/c)
=k^2=(-D)^2=D^2.(2)
由(2)证(1)：aA^2+bB^2+cC^2=D^2=(Ax+By+Cz)^2,
(a-x^2)A^2+(b-y^2)B^2+(c-z^2)C^2-2ABxy-2BCyz-2CAzx=0,
aA^2(y^2/b+z^2/c)+bB^2(z^2/c+x^2/a)+cC^2(x^2/a+y^2/b)-2ABxy-2BCyz-2CAzx=0,
(aA^2y^2/b-2ABxy+bB^2x^2/a)+(bB^2z^2/c-2BCyz+cC^2y^2/b)+(cC^2x^2/a-2CAzx+aA^2z^2/c)=0,
[√(a/b)Ay-√(b/a)Bx]^2+[√(b/c)Bz-√(c/b)Cy]^2+[√(c/a)Cx-√(a/c)Az]^2=0,
√(a/b)Ay=√(b/a)Bx,√(b/c)Bz=√(c/b)Cy,√(c/a)Cx=√(a/c)Az,
aAy=bBx,bBz=cCy,cCx=aAz,
aA/x=bB/y=cC/z,(1)得证.
2.a1 b1 c1
设A= a2 b2 c2 是可逆矩阵,则直线
a3 b3 c3
x/(a1-a2)=y/(b1-b2)=z/(c1-c2)与x/(a2-a3)=y/(b2-b3)=z/(c2-c3)的位置关系是____(相交、平行、重合、异面)
记P(a1,b1,c1),Q(a2,b2,c2),R(a3,b3,c3),
矩阵A可逆,P,Q,R不共线,
x/(a1-a2)=y/(b1-b2)=z/(c1-c2)过原点,
方向向量=向量(a1-a2,b1-b2,c1-c2)=向量QP,
x/(a2-a3)=y/(b2-b3)=z/(c2-c3)过原点,
方向向量=向量(a2-a3,b2-b3,c2-c3)=向量RQ,
向量QP,RQ不平行,所以两直线相交.
若平面与曲面相切,则平面法向量(A,B,C)与曲面在切点法向量(2x/a,2y/b,2z/c)成比例：A=kx/a,B=ky/b,C=kz/c.(1).
kx^2/a+ky^2/b+kz^2/c+D=0,
k(x^2/a+y^2/b+z^2/c)+D=0,k=-D.
aA^2+bB^2+cC^2
=k^2x^2/a+k^2y^2/b+k^2z^2/c)
=k^2=(-D)^2=D^2.(2)
由(2)证(1)：aA^2+bB^2+cC^2=D^2=(Ax+By+Cz)^2,
(a-x^2)A^2+(b-y^2)B^2+(c-z^2)C^2-2ABxy-2BCyz-2CAzx=0,
aA^2(y^2/b+z^2/c)+bB^2(z^2/c+x^2/a)+cC^2(x^2/a+y^2/b)-2ABxy-2BCyz-2CAzx=0,
(aA^2y^2/b-2ABxy+bB^2x^2/a)+(bB^2z^2/c-2BCyz+cC^2y^2/b)+(cC^2x^2/a-2CAzx+aA^2z^2/c)=0,
[√(a/b)Ay-√(b/a)Bx]^2+[√(b/c)Bz-√(c/b)Cy]^2+[√(c/a)Cx-√(a/c)Az]^2=0,
√(a/b)Ay=√(b/a)Bx,√(b/c)Bz=√(c/b)Cy,√(c/a)Cx=√(a/c)Az,
aAy=bBx,bBz=cCy,cCx=aAz,
aA/x=bB/y=cC/z,(1)得证.
2.a1 b1 c1
设A= a2 b2 c2 是可逆矩阵,则直线
a3 b3 c3
x/(a1-a2)=y/(b1-b2)=z/(c1-c2)与x/(a2-a3)=y/(b2-b3)=z/(c2-c3)的位置关系是____(相交、平行、重合、异面)
记P(a1,b1,c1),Q(a2,b2,c2),R(a3,b3,c3),
矩阵A可逆,P,Q,R不共线,
x/(a1-a2)=y/(b1-b2)=z/(c1-c2)过原点,
方向向量=向量(a1-a2,b1-b2,c1-c2)=向量QP,
x/(a2-a3)=y/(b2-b3)=z/(c2-c3)过原点,
方向向量=向量(a2-a3,b2-b3,c2-c3)=向量RQ,
向量QP,RQ不平行,所以两直线相交.