求所有使x+y^2+z^3=xyz成立的正整数x,y,其中,(x,y)=z

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 23:24:24

(ab-1)z^2 - b^2z - a = 0
于是a是z的倍数,设a=kz
那么(kzb-1)z^2 - b^2z - kz = 0
也就是kbz^2 - z - b^2 - k = 0
看作关于b的二次方程 b^2 - kz^2b + (z+k) = 0
由于k, b, z都是整数,判别式 Δ = (kz^2)^2 - 4(z+k) 必须是完全平方数
如果 z = 1,那么 Δ = k^2 - 4k - 4 = (k - 2)^2 - 8 是完全平方数
这是如果k >= 7,(k-3)^2 = k^2-6k+9 < k^2-4k-4 < (k-2)^2,Δ一定不是完全平方数,
所以k < 7,经检验只有 k=5 时有 Δ=1 是完全平方数,此时 b=2,3
对应的 (x,y,z) = (5,2,1) 和 (5,3,1)
如果 z >= 2,那么 k >= 3 时,(kz^2-1)^2 = (kz^2)^2 - 2kz^2 + 1 < (kz^2)^2 - 4(k+z)
这是因为 2kz^2-1 - 4(k+z) = 2kz^2 - 4z - (4k+1) >= 2k*2^2 - 4*2 - (4k+1) = 4k - 9 > 0
于是 (kz^2-1)^2 < Δ < (kz^2)^2,Δ不是完全平方数,矛盾
所以 z>=2 时必须有 k= z^4 - 4z^2 + 4 = (z^2 - 2)^2
于是要么 z=2,Δ=4,或者z>=3, Δ = (z^2-1)^2 = z^4 - 2z^1 + 1
由 z=2 得 b=1,3,对应 (x,y,z) = (4,2,2)或(4,6,2)
由 z=3 得 z^4-4z-4 = z^4-2z^2+1 即 2z^2-4z-5=0 无解
如果 k=2,那么 Δ = 4z^4 - 4(z+2) = 4(z^4 - z - 2),但是
(z^2-1)^2 = z^4-2z^2+1 < z^4-z-2 < z^4 = (z^2)^2,所以Δ不是完全平方数
如果 k=3,那么 Δ = 9z^4 - 4(z+3) = 9z^4 - 4z - 12,但是
(3z^2-1)^2 = 9z^4-6z^2+1 < 9z^4-4z-12 < 9z^4 = (3z^2)^2,所以Δ不是完全平方数
综上所述,所有解(x, y, z) = (5, 2, 1), (5, 3, 1), (4, 2, 2), (4, 6, 2)
再问：问一句，a为啥是z的倍数，ab-1不一定等于一啊，它不一定是首一多项式
再答：把a放到等号右边，那么左边可以提出一个z，所以a一定是z的倍数 (你别管它到底是什么多项式)

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