已知四边形ABCD的四条边满足:AB2+CD2=BC2+DA2,求证:AC⊥BD

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 05:40:52

已知四边形ABCD的四条边满足:AB2+CD2=BC2+DA2,求证:AC⊥BD
就是平方

用余弦定理即可.假设两条对角线相交形成4个线段和4个角（2对对顶角）.
四线段命名为a,b,c,d,角用角1和角2表示.
根据余弦定理：
AB2=a2+b2-2ab*cos(角1)
CD2=c2+d2-2cd*cos(角1)
AD2=a2+d2-2ad*cos(角2)
BC2=c2+b2-2cb*cos(角2)
且角1=180-角2,也就是cos(角1)=-cos(角2)
再加上题目条件AB2+CD2=AD2+BC2,代入后得
（ab+cd+ad+bc）cos(角1)=0
因为a,b,c,d都大于0,所以cos(角1)=0,那么角1就是90度,角2=180-角1=90度
完毕

（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC>BC2+CD2；已知，AC和BD为⊙O的两条弦，并且AB2+CD2=4R2，其中R为⊙O的半径．求证：AC⊥BD．已知：如图，四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，AD=CD．求证：BD2=AB2+BC2． 11.已知:如图,四边形ABCD中,∠D=60°,∠B=30°,AD=CD.求证:BD2=AB2+BC2. 已知:在空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,求证:AB⊥CD 已知：空间四边形ABCD中,AB=AD,BC=CD.求证：BD⊥AC 已知空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,求证AC⊥BD. 如图已知AD是△ABC的中线,求证：AB2+AC2=2（AD2+CD2）分析法或综合法证明已知四边形ABCD,角ADC=角ABC=90°,MN分别是AC,BD的中点求证MN⊥BD 如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点M、N分别是对角线AC、BD的中点,求证：MN⊥BD. 已知四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E、F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD. 已知,在四边形ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD≠BC,求证：四边形ABCD为等腰梯形