如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，B（5，0），点C在y轴的负半轴上，且OB=OC，抛物线y=x2+

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/04/25 16:03:53

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，B（5，0），点C在y轴的负半轴上，且OB=OC，抛物线y=x²+bx+c经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数关系式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上一点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；
（3）设E（x，y）是抛物线对称轴右侧上一动点，且位于第四象限，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．求▱OEBF的面积S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；当▱OEBF的面积为

175

（1）由题意，得C（0，-5），
∵抛物线过点B、C，
代入得：

25+5b+c＝0
c＝−5，
解得：

b＝−4
c＝−5，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x-5，

∴对称轴为直线x=2；

（2）如图1，设P（2，-m）（m＞0），
由解析式可得点A坐标为：（-1，0），
设抛物线对称轴交x轴于点M，过点C作CN⊥抛物线对称轴于点N，
∵AP⊥CP，∠AMP=90°，∠PNC=90°，
∴Rt△AMP∽Rt△PNC，
∴
MP
CN=
PN
AM，
∴
m
2=
5−m
3，
解得：m₁=2，m₂=3，
∴点P₁（2，-2），P₂（2，-3）；

（3）如图2，设点E（x，x²-4x-5），
则S_{四边形AFBE}=2S_△OBE=2×
1
2×OB×（-x²+4x+5）=-5x²+20x+25，
其中：2＜x＜5，
当S_{四边形AFBE}=
175
4时，
代入可得：
175
4=-5x²+20x+25，
∴x₁=
5
2，x₂=
3
2（舍去），
∵OB=5，点E的横坐标为
5
2，
∴点E在线段OB的中垂线上，
∴OE=BE，
∴平行四边形OEBF是菱形．