作业帮解析几何有能力的进 清华附中压轴题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 04:38:47
解析几何有能力的进 清华附中压轴题
已知抛物线Y=x^2的焦点为F
1）若点p在直线X-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA,PB、的切点分别为A,B点求三角形APB的重心G的轨迹方程.
2）如果P是平面上任意一点PA,pB是抛物线的两条切线,证明角PFA=角PFB
已知抛物线Y=x^2的焦点为F
1）若点p在直线X-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA,PB、的切点分别为A,B点求三角形APB的重心G的轨迹方程.
2）如果P是平面上任意一点PA,pB是抛物线的两条切线,证明角PFA=角PFB
（一）(参数法）可设点A(a,a^2),B(b,b^2),P(m,n),G（x,y).则过点A,B的切线分别是2ax-y=a^2,2bx-y=b^2.解这个关于x,y的二元一次方程组得：x=(a+b)/2,y=ab.由题设知,m=(a+b)/2,n=ab.又点P在直线x-y-2=0上,故有[(a+b)/2]-ab-2=0.即a+b=4+2ab.由重心坐标公式知,3x=a+b+m.3y=a^2+b^2+n.===>2x=a+b,3y=(a+b)^2-ab.消去参数a,b得重心G的轨迹方程：y=(4x^2-x+2)/3.(二）由前可知,点A(a,a^2),B(b,b^2),P((a+b)/2,ab),F(0,1/4).===>直线FA,FB,FP的斜率依次为Kfa=(4a^2-1)/(4a),Kfb=(4b^2-1)/(4b),Kfp=(4ab-1)/(2a+2b).不妨设a>b,则由“到角公式”可知,K(fp-fa)=2(a-b)/(4ab+1).K(fb-fp)=2(a-b)/(4ab+1).===>两到角相等,===》∠PFA=∠PFB.