线性代数行列按行（列）展开

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 10:10:53

线性代数行列按行（列）展开
设D=| 3 -5 2 1 |
| 1 1 0 -5 |
| -1 3 1 3 |
| 2 -4 -1 -3 |,
D的（i,j）元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij,求
A11+A12+A13+A14及 M11+M21+M31+M41.
A11+A12+A13+A14等于用1,1,1,1代替D的第1行
所得的行列式,即
A11+A12+A13+A14=| 1 1 1 1 |=...=| 2 -5 |=4
| -1 1 0 -5 | | 0 2 |
| -1 3 1 3 |
| 2 -4 -1 -3 |
M11+M21+M31+M41=A11-A21+A31-A41
| 1 -5 2 1 |
= | -1 1 0 -5 |=...=0
| 1 3 1 3 |
| -1 -4 -1 -3 |
问一下这一步是怎么得到的：M11+M21+M31+M41=A11-A21+A31-A41

M11+M21+M31+M41是行列式第一列所有元素的余子式的和.
注意的行列式的余子式与对应的代数余子式的关系：Aij=(-1)^(i+j)Mij
所以A11=M11,A21=(-1)^(2+1)M21=-M21,A31=M31,A41=-M41
所以M11=A11 ,M21=-A21,M31=A31,M41=-A41
故有M11+M21+M31+M41=A11-A21+A31-A41.

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