在平面几何中,若四边形ABCD有对角线AC垂直BD,则有AB2+CD2=AD2+BC2,扩展到空间,在四棱锥P-ABCD

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/05 10:42:14

在平面几何中,若四边形ABCD有对角线AC垂直BD,则有AB2+CD2=AD2+BC2,扩展到空间,在四棱锥P-ABCD中,若面SAC垂直于面SBD,则有：面积SAB 的平方+面积SCD的平方=面积SBC的平方+面积SAD的平方.请证明之.

好像有问题吧?四棱锥的顶点到底是P还是S?
先说平面
设对角线AC和BD相交于O点
根据AC垂直BD,则三角形AOB、BOC、COD、DOA均为直角三角形.
根据勾股定理,则：
AB2=AO2+BO2
CD2=CO2+DO2
AD2=AO2+DO2
BC2=BO2+CO2
所以,两两相加：AB2+CD2=AD2+BC2=AO2+BO2+CO2+DO2
四棱锥同理：
因为由上平面四边形AB2+CD2=AD2+BC2,等底,再同高
面积SAB 的平方+面积SCD的平方=面积SBC的平方+面积SAD的平方

在平面几何里,有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何的勾在平面几何里有勾股定理:设△ABC的两边AC,BC互相垂直,则AC2+BC2=AB2.拓展到空间,类比平面几何的勾股定理在四棱锥P-ABCD中,PA垂直于平面AC.且四边形ABCD是矩形,则该四棱锥的四个侧面中有几个直角三角形,为什么如图,在四棱锥p-ABCD中,pA垂直于平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,且AC垂直于CD,pA=AD,MQ分别（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC>BC2+CD2；如图,在四棱锥P-ABCD中,AD//BC,AD=2BC,AB=PB,PC垂直BD，AC垂直BD，E为PA中点。求证： .在四边形在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.. 在空间四边形abcd中,AC=BC,AD=BD,求证：ab垂直于cd 在空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,求证AC垂直BD 在空间四边形ABCD中,AC=BC,AD=BD,求证AB垂直于CD 在空间四边形ABCD中AC=BC,AD=BD,求证AB垂直CD 在空间四边形ABCD中,AB=BC,AD=CD,求证AC垂直BD