作业帮大二离散的一些题目,要求正确有过程,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 07:34:48
大二离散的一些题目,要求正确有过程,
证明题 ：设集合G={1,2,3,4},在G上定义两种运算“+”和“×”分别如下表：证明：（1）是一 个环；（2）是一个域.+ 0 1 2 3 × 0 1 2 3
0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
1 1 0 3 2 1 0 1 2 3
2 2 3 0 1 2 0 2 3 1
3 3 2 1 0 3 0 3 1 2
简答 ：1、 求下列集合的基数,并说明理由.（1）A={x| x∈Z 合x
证明题 ：设集合G={1,2,3,4},在G上定义两种运算“+”和“×”分别如下表：证明：（1）是一 个环；（2）是一个域.+ 0 1 2 3 × 0 1 2 3
0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
1 1 0 3 2 1 0 1 2 3
2 2 3 0 1 2 0 2 3 1
3 3 2 1 0 3 0 3 1 2
简答 ：1、 求下列集合的基数,并说明理由.（1）A={x| x∈Z 合x
第一题要验证结合律,分配率比较麻烦,建立一个"模型"会方便一点 (不过也许不是标准方法).
考虑Z2 = {0,1},即是mod 2的剩余类环,容易知道Z2是一个域.
Z2[x]是Z2系数的一元多项式环,可验证x²+x+1在Z2[x]中不可约.
于是x²+x+1在Z2[x]中生成的理想(x²+x+1)是极大理想,商环Z2[x]/(x²+x+1)是一个域.
商环Z2[x]/(x²+x+1)有4个元素,分别是0,1,x,x+1所在的等价类.
可写出运算表:
+ 0 1 x x+1
0 0 1 x x+1
1 1 0 x+1 x
x x x+1 0 1
x+1 x+1 x 1 0
× 0 1 x x+1
0 0 0 0 0
1 0 1 x x+1
x 0 x x+1 1
x+1 0 x+1 1 x
建立G与Z2[x]/(x²+x+1)的一一对应,将0,1,2,3分别映到0,1,x,x+1所在的等价类.
可知这个一一对应保持运算,因此由Z2[x]/(x²+x+1)是域即知是域.
当然,因为比较麻烦的是(1)问,所以也可以不去管(x²+x+1)是不是极大理想.
只需要Z2[x]/(x²+x+1)是一个环就行,可得是一个环.
在此基础上,由乘法表易见G中乘法交换,有单位元1,且非零元均可逆,即是域.
注:原理上4元有限域在同构意义下唯一,因此既然G是4元有限域就一定与Z2[x]/(x²+x+1)同构.
(1) A = {x | x ∈ Z,x < 0}与自然数集N = {x | x ∈ Z,x ≥ 0}可以建立一一对应.
f:A → N,f(x) = -1-x.
因此A的基数就是aleph0.
(2) B = (0,1/2)与实数集R可以建立一一对应.
g:B → R,g(x) = tan(π(2x-1/2)).
因此B的基数是aleph1.
我学的不是离散数学,所以在术语或者理论表述上可能有不一致,
考虑Z2 = {0,1},即是mod 2的剩余类环,容易知道Z2是一个域.
Z2[x]是Z2系数的一元多项式环,可验证x²+x+1在Z2[x]中不可约.
于是x²+x+1在Z2[x]中生成的理想(x²+x+1)是极大理想,商环Z2[x]/(x²+x+1)是一个域.
商环Z2[x]/(x²+x+1)有4个元素,分别是0,1,x,x+1所在的等价类.
可写出运算表:
+ 0 1 x x+1
0 0 1 x x+1
1 1 0 x+1 x
x x x+1 0 1
x+1 x+1 x 1 0
× 0 1 x x+1
0 0 0 0 0
1 0 1 x x+1
x 0 x x+1 1
x+1 0 x+1 1 x
建立G与Z2[x]/(x²+x+1)的一一对应,将0,1,2,3分别映到0,1,x,x+1所在的等价类.
可知这个一一对应保持运算,因此由Z2[x]/(x²+x+1)是域即知是域.
当然,因为比较麻烦的是(1)问,所以也可以不去管(x²+x+1)是不是极大理想.
只需要Z2[x]/(x²+x+1)是一个环就行,可得是一个环.
在此基础上,由乘法表易见G中乘法交换,有单位元1,且非零元均可逆,即是域.
注:原理上4元有限域在同构意义下唯一,因此既然G是4元有限域就一定与Z2[x]/(x²+x+1)同构.
(1) A = {x | x ∈ Z,x < 0}与自然数集N = {x | x ∈ Z,x ≥ 0}可以建立一一对应.
f:A → N,f(x) = -1-x.
因此A的基数就是aleph0.
(2) B = (0,1/2)与实数集R可以建立一一对应.
g:B → R,g(x) = tan(π(2x-1/2)).
因此B的基数是aleph1.
我学的不是离散数学,所以在术语或者理论表述上可能有不一致,