求证:设自然数a,b互质,则不能表示成ax+by(x,y为非负整数)的最大整数是ab-a-b.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/22 14:38:02
求证:设自然数a,b互质,则不能表示成ax+by(x,y为非负整数)的最大整数是ab-a-b.
a或者b是1的情况下容易证明.
以下情况都是a>1且b>1的情况.
首先证明ab-a-b不能表示成ax+by
假设ab-a-b=ax+by,那么ab=am+bn (m,n都大于等于1)
左边是a的倍数,右边am是a的倍数,那么要求bn也要是a的倍数
b不是a的倍数,只能要求n是a的倍数,这样的话,bn=bn'a>=ba
那么am=ab-bn所以am1矛盾.
接着证明ab-a-b+i能表示成ax+by(i>0)
因为ab互质,最大公约数就是1,根据辗转相减的方法知ma+nb=1,
不妨假设m>0,n1(m=0意味着nb=1不可能的),所以ab-a-b+i(ma+nb)=(im-1)a+(a+in-1)b
im-1>0,现在只要证明a+in-1>=0,因为ima+inb=i
如果,|in|>ja其中j>0,那么ima=i+|in|b>jab,所以im>jb
所以ima+inb=(im-jb)a-(|in|-ja)b=i,说明|in|>ja时,我们就能调整im,in使得|in|
以下情况都是a>1且b>1的情况.
首先证明ab-a-b不能表示成ax+by
假设ab-a-b=ax+by,那么ab=am+bn (m,n都大于等于1)
左边是a的倍数,右边am是a的倍数,那么要求bn也要是a的倍数
b不是a的倍数,只能要求n是a的倍数,这样的话,bn=bn'a>=ba
那么am=ab-bn所以am1矛盾.
接着证明ab-a-b+i能表示成ax+by(i>0)
因为ab互质,最大公约数就是1,根据辗转相减的方法知ma+nb=1,
不妨假设m>0,n1(m=0意味着nb=1不可能的),所以ab-a-b+i(ma+nb)=(im-1)a+(a+in-1)b
im-1>0,现在只要证明a+in-1>=0,因为ima+inb=i
如果,|in|>ja其中j>0,那么ima=i+|in|b>jab,所以im>jb
所以ima+inb=(im-jb)a-(|in|-ja)b=i,说明|in|>ja时,我们就能调整im,in使得|in|
数论中的一个问题求证:axo+byo 是型如 ax+by的最小正数 (a,b不全为0,x,y是任意整数 )则:axo+b
设a是最小的自然数,b是最大的负整数的相反数,c是绝对值小的有理数,则a,b,c的和为?
设a是最大负整数的相反数,b是最小的自然数,c是绝对值最小的有理数,则a、b、c三个数的和为?
设A是最小的自然数,B是最大的负整数的相反数,C是绝对值最小的有理数,则A、B、C三数之和为
设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a-b+c的值为(
设a是最小的自然数,b是最大的负整数.c是绝对值最小的有理数,则a+b+c的值为多少?
设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a-b+c的立方根是()
设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的实数,则a+2b-c=
设a是最小的自然数,b是最大负整数,c是绝对值最小的实数,则a+b+c=______.
设a为最小的正整数,b为最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a+(-b)+c=()
1.设a为最小的正整数,b为最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则
设a为最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的数,则a+b+c=( )