已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 07:51:39

①充分性
当a=1时,f（x）=x-1-lnx,f'（x）=1-1 x =x-1 x∴当x＞1时,f'（x）＞0,所以函数f（x）在（1,+∞）上是增函数,
当0＜x＜1时,f'（x）＜0,所以函数f（x）在（0,1）上是减函数,
∴f（x）≥f（1）=0
②必要性
f'（x）=1-a x =x-a x ,其中x＞0
（i）当a≤0时,f'（x）＞0恒成立,所以函数f（x）在（0,+∞）上是增函数
而f（1）=0,所以当x∈（0,1）时,f（x）＜0,与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意．
（ii）当a＞0时,∵x＞a时,f'（x）＞0,所以函数f（x）在（a,+∞）上是增函数；
0＜x＜a时,f'（x）＜0,所以函数f（x）在（0,a）上是减函数；
∴f（x）≥f（a）=a-a-alna
∵f（1）=0,所以当a≠1时,f（a）＜f（1）=0,此时与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1
综上所述,f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；

已知函数f(x)=x-1-alnx,a>0,对于x>0,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围已知函数f(x)=x^2-x+alnx（x≥1）,若f(x)≤x^2恒成立,求实数a的取值范围已知函数f(x)=x2-x+alnx（x≥1）,若f(x)≤x2恒成立,求实数a的取值范围? 已知函数f(x)=1/2x^2+alnx,当x>1时,f(x)>lnx恒成立,求实数a的取值. 已知a为实数 ,函数f(x)=x^2-2alnx ,若a＞0,试证明"方程f(x)=2ax有唯一解"的充要条件是"a=1 已知函数f(x)=alnx+1/x(a>0) (1)求函数f(x)的单调区间和极值已知函数f(x)=x^2-x+alnx(x≥1),当a 已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+0.5x^2,(a属于R),已知f(x)>=0时,对定义域内的任意x恒成立,求已知函数f（x）=x2+|x+a|+b（x∈R），求证：函数f（x）是偶函数的充要条件为a=0．已知函数f(x)=alnx-1/a,a为常数当x≥1时,f(x)≤2x-3恒成立,求实数a的取值范围函数f(x)=alnx+x²/2-(1+a)x （其中x>0),a为实数. 若f(x)≥0对定义域内的x恒成立已知函数f(x)=x-2/x+1-alnx,a＞0