若6的m次方+2的n次方+2(m,n属于N)是一个完全平方数,求所有可能的(m,n).
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 17:04:10
若6的m次方+2的n次方+2(m,n属于N)是一个完全平方数,求所有可能的(m,n).
数学难题
数学难题
先考察任意一个自然数n,n^2≡0或1(mod4)
则若m≥2且n≥2,则6^m≡0(mod4),2^n≡0(mod4)
6^m+2^n+2≡2(mod4)矛盾!
则m≤1或n≤1
(1)m≤1,
①m=0,则2^n+3为完全平方数;
当n≥2时,2^n+3≡3(mod4)矛盾!
则n=0或1;
n=0时,2^n+3=4是完全平方数;
n=1时,2^n+3=5不是完全平方数;
②m=1,则2^n+8是完全平方数
若n≥4,2^n+8=8[2^(n-3)+1],而2^(n-3)+1为奇数,显然2^n+8中2的幂次为3,不是完全平方数;
则n=0,1,2,或3
n=0,6^m+2^n+2=9满足;
n=1,6^m+2^n+2=10不满足;
n=2,6^m+2^n+2=12不满足;
n=3,6^m+2^n+2=16满足;
(2)n≤1,
①n=0,6^m+2^n+2=6^m+3
当m≥2时,6^m+2^n+2≡3(mod4)矛盾!
则m=0或1
m=0,6^m+2^n+2=4满足;
m=1,6^m+2^n+2=9满足;
②n=1,6^m+2^n+2=6^m+4
设6^m+4=k^2,k为自然数,
6^m=(k+2)(k-2)
则可设k+2=2^s*3^t
k-2=2^p*3^q
4=2^s*3^t-2^p*3^q
s+p=t+q=m
显然t=0或q=0
当t=0时,q=s+p,3^q=3^(s+p)≥2^(s+p)
4=2^s*3^t-2^p*3^q≤2^s-2^p*2^(s+p)≤0矛盾!
当q=0时,s+p=t=m
4=2^s*3^t-2^p*3^q
=2^s*3^(s+p)-2^p
则s=2或p=2
若s=2,4=4[(3^(p+2)-2^(p-2)]>4(3^p-2^p)≥4矛盾!
若p=2,4=4[2^(s-2)*3^(s+2)-1]≥4(3^2-1)>4矛盾!
综上(m,n)=(0,0),(1,0)或(1,3)
则若m≥2且n≥2,则6^m≡0(mod4),2^n≡0(mod4)
6^m+2^n+2≡2(mod4)矛盾!
则m≤1或n≤1
(1)m≤1,
①m=0,则2^n+3为完全平方数;
当n≥2时,2^n+3≡3(mod4)矛盾!
则n=0或1;
n=0时,2^n+3=4是完全平方数;
n=1时,2^n+3=5不是完全平方数;
②m=1,则2^n+8是完全平方数
若n≥4,2^n+8=8[2^(n-3)+1],而2^(n-3)+1为奇数,显然2^n+8中2的幂次为3,不是完全平方数;
则n=0,1,2,或3
n=0,6^m+2^n+2=9满足;
n=1,6^m+2^n+2=10不满足;
n=2,6^m+2^n+2=12不满足;
n=3,6^m+2^n+2=16满足;
(2)n≤1,
①n=0,6^m+2^n+2=6^m+3
当m≥2时,6^m+2^n+2≡3(mod4)矛盾!
则m=0或1
m=0,6^m+2^n+2=4满足;
m=1,6^m+2^n+2=9满足;
②n=1,6^m+2^n+2=6^m+4
设6^m+4=k^2,k为自然数,
6^m=(k+2)(k-2)
则可设k+2=2^s*3^t
k-2=2^p*3^q
4=2^s*3^t-2^p*3^q
s+p=t+q=m
显然t=0或q=0
当t=0时,q=s+p,3^q=3^(s+p)≥2^(s+p)
4=2^s*3^t-2^p*3^q≤2^s-2^p*2^(s+p)≤0矛盾!
当q=0时,s+p=t=m
4=2^s*3^t-2^p*3^q
=2^s*3^(s+p)-2^p
则s=2或p=2
若s=2,4=4[(3^(p+2)-2^(p-2)]>4(3^p-2^p)≥4矛盾!
若p=2,4=4[2^(s-2)*3^(s+2)-1]≥4(3^2-1)>4矛盾!
综上(m,n)=(0,0),(1,0)或(1,3)
若m,n是正整数(m<n)且2的m次方乘于2的n次方等于32,求m,n的值.
若根号m+n+10的m-n-次方是m+n+10的一个平方根,B=根号4m+6n-1的m-2n+3次方是4m+6n-1的立
若m,n满足(m+2)的绝对值+(n-3)的平方=0,求m的n次方.
若2的m次方·2的n次方=16,求4(m+n)平方的值
若单项式3x的m-2n次方与-x的6次方y的m+n次方是同类项,求m、n的值
(m+n)(m-n)(-m的2次方-n的2次方)化简
求极限 (1+1/n)的n+m次方,n趋向无穷大,m属于N.
若3x的m次方y的n+1次方与-x的平方y的2乘n次方的和是单项式,求m-(m²n+3m-4n)+(2nm
已知多项式(m-1)x的4次方-x的n次方+2x-5是3次多项式,求(m+1)n的平方-m的2012次方+(m-n)n的
(m-n)的5次方÷(n-m)的2次方×(m-n)÷(m-n)²计算
若(X的M次方/X的2N次方)立方/X的2M-N次方与2X立方是同类项且M+5N=2,求M平方-25N
已知根号2m-n+n平方-2n+1=0,则m的n次方的值是