作业帮急:级数收敛和发散问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 01:15:07
急:级数收敛和发散问题
级数∑[根号下(n+1)-根号下(n)]^p.ln[(n-1)/(n+1)],试求使得级数收敛和发散p的区域.
级数∑[根号下(n+1)-根号下(n)]^p.ln[(n-1)/(n+1)],试求使得级数收敛和发散p的区域.
如果级数的通项乘以－1,则成为正项级数. 所以以下考虑级数
∑[√(n+1)-√n]^p×ln[(n+1)/(n-1)]
ln[(n+1)/(n-1)]＝ln[1＋2/(n-1)]等价于2/(n-1),进而等价于2/n
[√(n+1)-√n]^p＝1/[√(n+1)+√n]^p等价于1/[2√n]^p
所以,[√(n+1)-√n]^p×ln[(n+1)/(n-1)]等价于2/n×/[2√n]^p
由比较判别法,原级数的收敛性与级数∑1/[n×√n^p]＝∑1/[n^(1+p/2)]的收敛性相同
所以,当1＋p/2＞1,即p＞0时,原级数收敛,当p≤0时,原级数发散
∑[√(n+1)-√n]^p×ln[(n+1)/(n-1)]
ln[(n+1)/(n-1)]＝ln[1＋2/(n-1)]等价于2/(n-1),进而等价于2/n
[√(n+1)-√n]^p＝1/[√(n+1)+√n]^p等价于1/[2√n]^p
所以,[√(n+1)-√n]^p×ln[(n+1)/(n-1)]等价于2/n×/[2√n]^p
由比较判别法,原级数的收敛性与级数∑1/[n×√n^p]＝∑1/[n^(1+p/2)]的收敛性相同
所以,当1＋p/2＞1,即p＞0时,原级数收敛,当p≤0时,原级数发散