微积分证明首先请把证明过程详述一下,这个过程似乎没用到f ’(x)单调?其次评注中的“ f ’(x)单调的条件保证,若有

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 16:53:37

微积分证明
首先请把证明过程详述一下,这个过程似乎没用到f ’(x)单调?
其次评注中的“ f ’(x)单调的条件保证,若有间断点,只可能是可去间断点和第一类间断点”
为什么?
多谢

洛必达法则用到了单调性：单调有界函数必有极限,当极限存在时,才可以用洛必达法则,因此
lim 【f(x)--f(x0)】/(x--x0)=【这个等号成立的前提是f'(x)的极限存在,当f'(x)单调时可以保证右极限是存在的】lim f'(x)=f'(x0+0).而显然由于可导,上面表达式的最左边的极限应是f'(x0),因此
得到导函数的右极限=导函数值.然后类似证明导函数的左极限=函数值,故左右极限都等于函数值,所有导函数连续.
评注中：只要是单调函数,利用单调有界原理就知道间断点的左右极限是存在的,因此间断点只能是第一类的.
再问：只要是单调函数，在其定义域上每点的左右极限都存在吗？无界函数也如此吗？题中没说 f'(x)有界啊？有可能 f'(x)在（a,b）上无界吗？还有图片中的“证明”和“评注”貌似是等价的？“评注”可以单独看作是一种解法吗？
再答：单调函数可以无界，但只能在区间端点处无界，中间的点肯定是有界的。比如递增函数，c是区间内一点，则x=f(c)，故从右边看是递减有下界的，故有极限。评注是另外一种证法，是在知道了导函数的介值性质后才能这么做。证明不需要导函数的介值性质，只利用单调函数的性质。
再问：评注似乎有漏洞，f'(x)单调，若有间断点，也只可能是跳跃点，而不会是可去间断点，否则违背f'(x)的单调性，对吗？不过这也不影响结果，因为“其一”中已经对两种情况都进行了否定。还有按你说的单调函数在开区间的任意点上都有左极限和有极限，也就是左右空心领域的上下确界，对吗？还有达布定理：若f(x)在[a,b]上可导，则f '(x)的值域为一个区间。 [a,b]改为开区间（a,b）可以吗？
再答：对，单调函数只能有跳跃间断点。第二个结论正确。凡是有介值性质的函数，定义域是区间，值域必是区间，当然这里的区间就可能是开，闭，半开半闭的，或者包含无穷

证明：若单调有界函数f(x)可取到f(a).f(b)之间的一切值,则f(x)在[a,b]上连续函数 y=sin( π/3-2x)的单调减区间怎么求?请写一下证明过程!急～～～单调函数间断点可数f:R ---> R 单调,证明：群{ x属于R：f的间断点x}可数若单调有界函数f（x）,可取到f（a）和f（b）之间的一切值,证明f（x）在[a,b]连续函数f(x)=x+sinx是否为单调函数请证明验证f(x)=x的三次方+2x,x属于[0,1]是否满足拉格朗日中值定理的条件,若满足,求出定理中的§.请写出证明过程 f(x0)不等于0,则f(x)在x0可导是|f(x)|可导的什么条件,给出证明过程已知函数f(x)=ln(1/x)-ax^2+x若函数是单调函数求a的范围若有两个级值证明f(x1) 设函数f(x)=x+2/x+1,求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性证明函数f(x)=x+1/x在（0,1】上是单调递增的 f(x)=x/x^2+1的单调区间,并证明.不能用导数知识证明函数f(x)=x的3次方+x 在R上单调递增