作业帮集合有关知识点
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 02:27:47
集合有关知识点
解题思路： 集合
解题过程：
集合的有关知识点讲析 知识点1：元素与集合 精讲：(1)集合中元素的特征 ①确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的。这就是说不确定的对象就不能构成集合。如“高一(1)班高个子同学”就不能构成一个集合，因为组成它的对象是不确定的。 ②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）。这就是说集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算作集合的一个元素。 ③无序性：组成集合的元素没有次序，如集合｛１，２，３｝和｛３，２，１｝等表示同一个集合。 (2)相等集合 中要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 (3)元素与集合的关系 如果a是集合Ａ的元素，就说a属于集合Ａ，记作a∈Ａ；如果a不是集合Ａ的元素，就说a不属于集合Ａ，记作a
(4)集合分类：有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫做有限集；含有元限个元素的集合叫做元限集。其划分的依据是元素的个数。 (5)常用数集与记法 数学中的一些常见的数集及其记法。全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作Ｎ；所有正整数组成的集合称为
正整数集，记叙Ｎ*或Ｎ+；全体整数组成的集合称为整数集，记作Ｚ；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Ｑ；全体实数组成的集合称为实数集，记作Ｒ。 例1.含有三个实数的集合可表示为｛a, ,1｝，也可表示为｛a2,a+b,0｝,则a2007+b2008的值是多少？ [思路点拨]两个集合相等，则元素是一样的，由此可求出a,b的值。再代入a2007+b2008，求值即可。 [标准解答]比较同一集合的两种表示，知a≠0,否则无意义，故＝０，∴b=0.此时集合表示为{a,0,1}或｛a2,a,0｝,∴a2=1.∴a=-1.∴a2007+b2008=-1. [易错剖析]在得到a2=1后，忽略集合中元素的互异性，而没有省略掉a=1,得到a=±1,从而a2007+b2008＝±1。 [变式训练] 1.设集合Ａ＝{1,a,b},B={a,a2,ab}且A=B,求实数a、b. 2. 若-3∈{a-3,2a+1, a2+1},求实数。 3. 集合{x-1,x2-1,2}中的x不能取的值是（ ） Ａ.2 Ｂ.3 Ｃ.4 Ｄ.5 知识点2：集合的表示 1. 列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。 精讲：在且列举法表示集合时应注意以下四点： (1)元素间用分隔号“，”； (2)元素不重复； (3)不考虑元素顺序； (4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。 如“中国的直辖市”构成了一个集合，用列举法表示为{北京，天津，上海，重庆}。“book”中的字母也构成一个集合，用列举法表示为{b,o,k}。 2. 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体做法是：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素后有的共同特征。 精讲：在集合Ｉ中，属于集合Ａ的任一元素x都具有性质p(x)，而不属于集合Ａ的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合Ａ的一个特征性质。于是，集合Ａ可用它的特征性质p(x)描述为{
}，它表示集合Ａ是由集合Ｉ中具有性质的所有元素p(x)的所有元素构成的。其中x为该集合中元素的代号，它表明了该集合中元素特有的公共属性、特征。 在使用该法时，应注意以下六点： ①写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表示的元素符号）； ②说明该集合中元素的特征； ③不能出现未被说明的字母； ④多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”； ⑤所有描述的内容都要写在集合括号内； ⑥用于描述的语句力求简明、确切。 如{x|x为中国的直辖市}。 3. 图示法（韦恩Venn图法） 对给定的集合用图形（常见的有圆和矩形）表示，图形上或图形内的点表示该集合的元素，图形外的点表示集合外的元素，这种表示集合的方法叫图示法。 例2. 判断下列对象能否构成一个集合，如果能，请采用适当的方法表示该集合；如不能，请说明理由。 (1)小于５的自然数； (2)著名数学家； (3)高一(1)班身材高的同学； (4)高一(1)班体重不低于50kg的同学。 [思路点拨]判断某些对象是否构成一个集合，关键是看满足条件的对象能否确定，若满足某一条件的对象能被确定，则构成集合；否则不能构成集合。 [标准解答] (1)“小于５的自然数”中有0,1,2,3,4,这些元素的全体组成一个集合，可用列举法表示为{0,1,2,3,4,}； (2)“著名数学家”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的； (3)“高一(1)班身材高的同学”也不能构成集合，因为组成它的元素也是不确定的； (4)“高一(1)班体重不低于50kg的同学”构成一个集合，所有体重等于50kg的同学都在这人集合内，可用描述法表示这{x|x高一(1)班体重不低于50kg的同学}。 [易错剖析](1)题中集合中的元素应用逗号隔开；(2)中“著名”二字，标准不确定；(3)中“身材高”也不确定，不符合集合中元素的特征。 [变式训练] 4. 用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数集； (2)自然数中不大于10的质数集； (3){x|x= 
,a,b为非零实数}。 5. 用描述法分别表示下列集合： (1)不等式x-3>2解集； (2)抛物线y=x2上的点； (3)方程x2-3x+2=0的解集； (4)直角坐标系中坐标轴上的点。 知识点3: 集合间的基本关系 对于两个集合Ａ、Ｂ，如果集合Ａ中任意一个元素都是集合Ｂ中的元素，我就说这两人集合有包含关系，利集合Ａ为集合Ｂ的子集，记作A
B或B
A。 如果集合AB，但存在元素x∈B，且x
A，我们称集合Ａ是集合Ｂ的真集，记作Ａ
ＢＢ
Ａ。 精讲：1)我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为
，同时规定：空集是任何集合的子集。那么，空集就是任何非空集合的真子集。 要注意{0}与的区别：{0} 是由一个元素０组成的有限集合，是不含任何元素的集合。因此， {0}，而不能写成＝{0}或∈{0}。 2)子集概念的理解 (1)子集的概念是由讨论集合与集合间的关系引出的，两个集合Ａ与Ｂ之间的关系如下： 
其中记号Ａ
Ｂ（Ｂ
Ａ）表示集合Ａ不包含于集合Ｂ（或集合Ｂ不包含集合Ａ）。 (2)子集具有以下性质： ①ＡＡ，即任何一个集合都是它本身的子集。 ②如果ＡＢ，BA，那么Ａ＝Ｂ ③如果ＡＢ，BＣ，那么ＡＣ ④如果ＡＢ，BＣ，那么ＡＣ (3)包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈Ａ，可以推出x∈Ｂ，那么AB（或BA）。 不包含的定义也可以表述：成对的两个集合Ａ与Ｂ，如果集合Ａ中存在至少一个元素不是集合Ｂ的元素，那么ＡＢ（或ＢＡ）。 (4)有限集合的子集个数： ①n个元素的集合有2n个子集。 ②n个元素的集合有2n-1个真子集。 ③n个元素的集合有2n-1个非空子集。 ④n个元素的集合有2n-２非空真子集。 3)正确判断元素与集合、集合与集合之间的关系 元素与集合的关系是属于与不属于的关系，集合与集合之间的关系是包含、真包含、相等的关系，要按照定义仔细区别。 例3.已知{a,b}A{a,b,c,d,e},写出所有满足条件的Ａ。 [思路点拨]Ａ中必含有a,b两个元素，另外还有c,d,e中的一个或两个元素。 [标准解答]∵{a,b}A∴a∈A,且b∈A, ∵Ａ{a,b,c,d,e} ∴集合Ａ为{a,b}，{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. [易错剖析]对于一般的求某个集合的子集的个数问题，可直接根据当集合Ａ中有n个元素时，有2n个子集，有2n -1个真子集，有2n –２个非空真子集这一结论来求即可。本题若求满足条件的集合的个数，可以求{c,d,e}的真子集的个数。 [变式训练] 6. 集合Ｍ={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3l+1,l∈Z },S={z|z=6m+1,m∈Z }间的关系是（ ）. A. SPM B. s=PM C. SP=M D. SP=M 7.设Ａ={x|1<x<2},B={x|x-a<0},若ＡB,则a的取值范围是 。 8.设集合Ａ={1,3,a},B={1,a2-a+1},且ＢＡ，求a的值。 知识点4. 集合的基本运算 集合的基本运算有三种：并集、交集、补集。 精讲：1)(1)并集：一般地，由所属于集合Ａ或属于集合Ｂ的元素所组成的集合，称为集合Ａ与集合Ｂ的并集，记作：Ａ∪Ｂ，读作“Ａ并Ｂ，即Ａ∪Ｂ={x|x∈A或x∈Ｂ}。 (2)“Ａ∪Ｂ”可用韦恩图中的阴影部分来表示。 
或 
或 
(3)并集的运算性质。 ①=B∪A; ②Ａ∪A=Ａ； ③Ａ∪＝∪Ａ＝Ａ ④如果ＡＢ，则Ａ∪Ｂ＝Ｂ。 2)(1)交集：一般地，由属于集合Ａ且属于集合Ｂ的交集，记作Ａ∩B，读作“Ａ交Ｂ”，即Ａ∩B＝{x|x∈A，且x∈Ｂ} (2) “Ａ∩Ｂ”可用韦恩图表示。 
A∩B= 
A∩B= B 
A∩B为其公共部分 (3)交集的运算性质。 ①A∩B=B∩A ②A∩A=A ③A∩=∩A= ④若AＢ，则A∩B=A 3)(1).补集：如果A是全集U的一个子集，由U中所有不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，简称集合Ａ的补集，记作CUA，即CUA＝｛x|x∈U，且xA｝ (2)补集用韦恩图来表示： 
(3)补集的运算性质： ①Ａ∪CUA=U ②Ａ∩CUA=Ф ③CU (CUA)=A 4)利用韦恩图综合表示集合的关系的交、并、补运算. 
例4.已知A={2,4,a3-2a2-a+7}，B={-4,a+3,a2-2a+2,a3+a2+3a+7}，且A∩B={2,5}，求实数a的值，并求Ａ∪Ｂ [思路点拔]由交集元素入手，求出给定系数a的值，再检验是否符合条件。 [标准答案] ∵A∩B={2,5}，A={2,4,a3-2a2-a+7}， ∴a3-2a2-a+7＝５，解得a= -1,1,2 当a= -1时，A={2,4,5}，B={-4,2,4,5} 则A∩B={2,4,5}，这与已知矛盾； 当a= 1时，A={2,4,5}，B={-4,4,1,12} 则A∩B={4}，这也与已知矛盾； 当a=2时，A={2,4,5}，B={-4,5,2,25} 则A∩B={2,5}，符合题意. 故a=2，此时 Ａ∪Ｂ ={2,4,5}∪{-4,5,2,25} ={-4,2,4,5,25} [易错剖析]求出系数a的值，别忘了验证，避免出现a的多个值。 [变式训练] 9.已知集合M＝{(x,y)|x+y=2}，N＝{(x,y)|x-y=4}，那么集合M∩N为( ) A. x=3,y= -1 B. (3,-1) C. {3,-1} D. {(3,-1)} 10.设集合A={x2,2x-1,-4}，B={x-5,1-x,9}，若A∩B={9}，求Ａ∪Ｂ
最终答案：略
解题过程：
集合的有关知识点讲析 知识点1：元素与集合 精讲：(1)集合中元素的特征 ①确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的。这就是说不确定的对象就不能构成集合。如“高一(1)班高个子同学”就不能构成一个集合，因为组成它的对象是不确定的。 ②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）。这就是说集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算作集合的一个元素。 ③无序性：组成集合的元素没有次序，如集合｛１，２，３｝和｛３，２，１｝等表示同一个集合。 (2)相等集合 中要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 (3)元素与集合的关系 如果a是集合Ａ的元素，就说a属于集合Ａ，记作a∈Ａ；如果a不是集合Ａ的元素，就说a不属于集合Ａ，记作a
(4)集合分类：有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫做有限集；含有元限个元素的集合叫做元限集。其划分的依据是元素的个数。 (5)常用数集与记法 数学中的一些常见的数集及其记法。全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作Ｎ；所有正整数组成的集合称为正整数集，记叙Ｎ*或Ｎ+；全体整数组成的集合称为整数集，记作Ｚ；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Ｑ；全体实数组成的集合称为实数集，记作Ｒ。 例1.含有三个实数的集合可表示为｛a, ,1｝，也可表示为｛a2,a+b,0｝,则a2007+b2008的值是多少？ [思路点拨]两个集合相等，则元素是一样的，由此可求出a,b的值。再代入a2007+b2008，求值即可。 [标准解答]比较同一集合的两种表示，知a≠0,否则无意义，故＝０，∴b=0.此时集合表示为{a,0,1}或｛a2,a,0｝,∴a2=1.∴a=-1.∴a2007+b2008=-1. [易错剖析]在得到a2=1后，忽略集合中元素的互异性，而没有省略掉a=1,得到a=±1,从而a2007+b2008＝±1。 [变式训练] 1.设集合Ａ＝{1,a,b},B={a,a2,ab}且A=B,求实数a、b. 2. 若-3∈{a-3,2a+1, a2+1},求实数。 3. 集合{x-1,x2-1,2}中的x不能取的值是（ ） Ａ.2 Ｂ.3 Ｃ.4 Ｄ.5 知识点2：集合的表示 1. 列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。 精讲：在且列举法表示集合时应注意以下四点： (1)元素间用分隔号“，”； (2)元素不重复； (3)不考虑元素顺序； (4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。 如“中国的直辖市”构成了一个集合，用列举法表示为{北京，天津，上海，重庆}。“book”中的字母也构成一个集合，用列举法表示为{b,o,k}。 2. 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体做法是：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素后有的共同特征。 精讲：在集合Ｉ中，属于集合Ａ的任一元素x都具有性质p(x)，而不属于集合Ａ的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合Ａ的一个特征性质。于是，集合Ａ可用它的特征性质p(x)描述为{}，它表示集合Ａ是由集合Ｉ中具有性质的所有元素p(x)的所有元素构成的。其中x为该集合中元素的代号，它表明了该集合中元素特有的公共属性、特征。 在使用该法时，应注意以下六点： ①写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表示的元素符号）； ②说明该集合中元素的特征； ③不能出现未被说明的字母； ④多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”； ⑤所有描述的内容都要写在集合括号内； ⑥用于描述的语句力求简明、确切。 如{x|x为中国的直辖市}。 3. 图示法（韦恩Venn图法） 对给定的集合用图形（常见的有圆和矩形）表示，图形上或图形内的点表示该集合的元素，图形外的点表示集合外的元素，这种表示集合的方法叫图示法。 例2. 判断下列对象能否构成一个集合，如果能，请采用适当的方法表示该集合；如不能，请说明理由。 (1)小于５的自然数； (2)著名数学家； (3)高一(1)班身材高的同学； (4)高一(1)班体重不低于50kg的同学。 [思路点拨]判断某些对象是否构成一个集合，关键是看满足条件的对象能否确定，若满足某一条件的对象能被确定，则构成集合；否则不能构成集合。 [标准解答] (1)“小于５的自然数”中有0,1,2,3,4,这些元素的全体组成一个集合，可用列举法表示为{0,1,2,3,4,}； (2)“著名数学家”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的； (3)“高一(1)班身材高的同学”也不能构成集合，因为组成它的元素也是不确定的； (4)“高一(1)班体重不低于50kg的同学”构成一个集合，所有体重等于50kg的同学都在这人集合内，可用描述法表示这{x|x高一(1)班体重不低于50kg的同学}。 [易错剖析](1)题中集合中的元素应用逗号隔开；(2)中“著名”二字，标准不确定；(3)中“身材高”也不确定，不符合集合中元素的特征。 [变式训练] 4. 用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数集； (2)自然数中不大于10的质数集； (3){x|x= ,a,b为非零实数}。 5. 用描述法分别表示下列集合： (1)不等式x-3>2解集； (2)抛物线y=x2上的点； (3)方程x2-3x+2=0的解集； (4)直角坐标系中坐标轴上的点。 知识点3: 集合间的基本关系 对于两个集合Ａ、Ｂ，如果集合Ａ中任意一个元素都是集合Ｂ中的元素，我就说这两人集合有包含关系，利集合Ａ为集合Ｂ的子集，记作AB或BA。 如果集合AB，但存在元素x∈B，且xA，我们称集合Ａ是集合Ｂ的真集，记作ＡＢＢＡ。 精讲：1)我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，同时规定：空集是任何集合的子集。那么，空集就是任何非空集合的真子集。 要注意{0}与的区别：{0} 是由一个元素０组成的有限集合，是不含任何元素的集合。因此， {0}，而不能写成＝{0}或∈{0}。 2)子集概念的理解 (1)子集的概念是由讨论集合与集合间的关系引出的，两个集合Ａ与Ｂ之间的关系如下： 其中记号ＡＢ（ＢＡ）表示集合Ａ不包含于集合Ｂ（或集合Ｂ不包含集合Ａ）。 (2)子集具有以下性质： ①ＡＡ，即任何一个集合都是它本身的子集。 ②如果ＡＢ，BA，那么Ａ＝Ｂ ③如果ＡＢ，BＣ，那么ＡＣ ④如果ＡＢ，BＣ，那么ＡＣ (3)包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈Ａ，可以推出x∈Ｂ，那么AB（或BA）。 不包含的定义也可以表述：成对的两个集合Ａ与Ｂ，如果集合Ａ中存在至少一个元素不是集合Ｂ的元素，那么ＡＢ（或ＢＡ）。 (4)有限集合的子集个数： ①n个元素的集合有2n个子集。 ②n个元素的集合有2n-1个真子集。 ③n个元素的集合有2n-1个非空子集。 ④n个元素的集合有2n-２非空真子集。 3)正确判断元素与集合、集合与集合之间的关系 元素与集合的关系是属于与不属于的关系，集合与集合之间的关系是包含、真包含、相等的关系，要按照定义仔细区别。 例3.已知{a,b}A{a,b,c,d,e},写出所有满足条件的Ａ。 [思路点拨]Ａ中必含有a,b两个元素，另外还有c,d,e中的一个或两个元素。 [标准解答]∵{a,b}A∴a∈A,且b∈A, ∵Ａ{a,b,c,d,e} ∴集合Ａ为{a,b}，{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. [易错剖析]对于一般的求某个集合的子集的个数问题，可直接根据当集合Ａ中有n个元素时，有2n个子集，有2n -1个真子集，有2n –２个非空真子集这一结论来求即可。本题若求满足条件的集合的个数，可以求{c,d,e}的真子集的个数。 [变式训练] 6. 集合Ｍ={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3l+1,l∈Z },S={z|z=6m+1,m∈Z }间的关系是（ ）. A. SPM B. s=PM C. SP=M D. SP=M 7.设Ａ={x|1<x<2},B={x|x-a<0},若ＡB,则a的取值范围是 。 8.设集合Ａ={1,3,a},B={1,a2-a+1},且ＢＡ，求a的值。 知识点4. 集合的基本运算 集合的基本运算有三种：并集、交集、补集。 精讲：1)(1)并集：一般地，由所属于集合Ａ或属于集合Ｂ的元素所组成的集合，称为集合Ａ与集合Ｂ的并集，记作：Ａ∪Ｂ，读作“Ａ并Ｂ，即Ａ∪Ｂ={x|x∈A或x∈Ｂ}。 (2)“Ａ∪Ｂ”可用韦恩图中的阴影部分来表示。 或 或 (3)并集的运算性质。 ①=B∪A; ②Ａ∪A=Ａ； ③Ａ∪＝∪Ａ＝Ａ ④如果ＡＢ，则Ａ∪Ｂ＝Ｂ。 2)(1)交集：一般地，由属于集合Ａ且属于集合Ｂ的交集，记作Ａ∩B，读作“Ａ交Ｂ”，即Ａ∩B＝{x|x∈A，且x∈Ｂ} (2) “Ａ∩Ｂ”可用韦恩图表示。 A∩B= A∩B= B A∩B为其公共部分 (3)交集的运算性质。 ①A∩B=B∩A ②A∩A=A ③A∩=∩A= ④若AＢ，则A∩B=A 3)(1).补集：如果A是全集U的一个子集，由U中所有不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，简称集合Ａ的补集，记作CUA，即CUA＝｛x|x∈U，且xA｝ (2)补集用韦恩图来表示： (3)补集的运算性质： ①Ａ∪CUA=U ②Ａ∩CUA=Ф ③CU (CUA)=A 4)利用韦恩图综合表示集合的关系的交、并、补运算. 例4.已知A={2,4,a3-2a2-a+7}，B={-4,a+3,a2-2a+2,a3+a2+3a+7}，且A∩B={2,5}，求实数a的值，并求Ａ∪Ｂ [思路点拔]由交集元素入手，求出给定系数a的值，再检验是否符合条件。 [标准答案] ∵A∩B={2,5}，A={2,4,a3-2a2-a+7}， ∴a3-2a2-a+7＝５，解得a= -1,1,2 当a= -1时，A={2,4,5}，B={-4,2,4,5} 则A∩B={2,4,5}，这与已知矛盾； 当a= 1时，A={2,4,5}，B={-4,4,1,12} 则A∩B={4}，这也与已知矛盾； 当a=2时，A={2,4,5}，B={-4,5,2,25} 则A∩B={2,5}，符合题意. 故a=2，此时 Ａ∪Ｂ ={2,4,5}∪{-4,5,2,25} ={-4,2,4,5,25} [易错剖析]求出系数a的值，别忘了验证，避免出现a的多个值。 [变式训练] 9.已知集合M＝{(x,y)|x+y=2}，N＝{(x,y)|x-y=4}，那么集合M∩N为( ) A. x=3,y= -1 B. (3,-1) C. {3,-1} D. {(3,-1)} 10.设集合A={x2,2x-1,-4}，B={x-5,1-x,9}，若A∩B={9}，求Ａ∪Ｂ 最终答案：略