与中值定理有关的一道证明题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 00:14:36

与中值定理有关的一道证明题
设f(x),g(x)在(a,b)内可导,且f'(x)g(x)≠g(x)f'(x)求证f(x)在(a,b)内任意两个零点之间至少有一个g(x)的零点

f'(x)g(x)≠g(x)f'(x)一句恐怕应该改成f'(x)g(x)≠f(x)g'(x)吧?
反证,若在f的两零点e1,e2内g无零点,令:
F(x)=f(x)/g(x),
易知F(e1)=F(e2)=0,由洛尔中值定理,存在e使得:
F'(e)=0,即(f'(e)g(e)-f(e)g'(e))/g^2(e)=0,由假设分母不为零,约去得:
f'(e)g(e)-f(e)g'(e)=0,此与题设相矛盾.
故g必有零点.

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