已知椭圆O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且op与OQ垂直,求证1/op^2+1/oq^2=1/a^2+1/b^2
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/23 18:58:05
已知椭圆O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且op与OQ垂直,求证1/op^2+1/oq^2=1/a^2+1/b^2
设P(x1,y1)Q(x2,y2)
根据题意y1/x1*y2/x2=-1
即x1x2+y1y2=0
设PQ方程:y=kx+m代入椭圆b²x²+a²y²=a²b²
整理:(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0
韦达定理:x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),x1*x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0
(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0
化简:(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)
m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)
|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)
点O到直线PQ的距离d=|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)为定值
1/OP²+1/OQ²=(OP²+OQ²)/(OP²*OQ²)=PQ²/(PQ*d)²=1/d²=1/[a²b²/(a²+b²)]
=(a²+b²)/(a²b²)=1/a²+1/b²
根据题意y1/x1*y2/x2=-1
即x1x2+y1y2=0
设PQ方程:y=kx+m代入椭圆b²x²+a²y²=a²b²
整理:(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0
韦达定理:x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),x1*x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0
(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0
化简:(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)
m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)
|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)
点O到直线PQ的距离d=|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)为定值
1/OP²+1/OQ²=(OP²+OQ²)/(OP²*OQ²)=PQ²/(PQ*d)²=1/d²=1/[a²b²/(a²+b²)]
=(a²+b²)/(a²b²)=1/a²+1/b²
直线L:y=kx+b与椭圆x²/2+y²=1交于P、Q两点,且OP与OQ垂直(O为坐标原点),求证:
椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交与P,Q两点且OP垂直于OQ,其中O为坐标原点
椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交与P,Q两点且OP垂直于OQ,其中O为坐标原点 求
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P.Q两点,且OP垂直OQ,其中0为坐标原点
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点
已知椭圆方程X^2/2+Y^2=1,直线L与椭圆相交于pq两点,o为原点,且op垂直oq.
.(14分)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线x+y-i=0 相交于P Q两点,且OP垂直于OQ(O为原点).
椭圆的证明问题已知椭圆x^2 /16+y^2 /4=1上有2定点p,q,o为原点,连接op,oq若k op*k oq=-
椭圆x2+4y2=16上有两点P、Q,O为原点,若OP、OQ斜率之积为 -1/4,求证|OP|2+|OQ|2为定值20.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上有两点P,Q,O为坐标原点,设直线OP,OQ的斜率分别为
已知点P.Q是椭圆x^2/ a^2+y^2/ b^2=1上的点,O为坐标原点,角POQ=90度.求1/OP^2+1/OQ
椭圆X^2/16+Y^2/4=1上有两点P、Q,O是原点,若OP、OQ斜率之积为-1/4,求证|OP|^2+|OQ|^2