作业帮“函数导数与恒成立存在问题”求解
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 20:41:55
“函数导数与恒成立存在问题”求解
题目打字打错了一个地方。下面是重新打的：
已知函数f(x)=ax³-bx²+9x+2，若f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-6=0
求函数f(x)的解析式
若对任意的x∈[ ¼，2 ]都有f(x)≥t²-2t-1成立，求函数g(t)=t²+t-2的最值
已知函数f(x)=ax²-bx²+9x+2,若f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-6=0
求函数f(x)的解析式
若对任意的x∈[ ¼,2 ]都有f(x)≥t²-2t-1成立,求函数g(t)=t²+t-2的最值
希望步骤能详细一点,本人数学很烂,省略了步骤很难听懂的,谢了!
题目打字打错了一个地方。下面是重新打的：
已知函数f(x)=ax³-bx²+9x+2，若f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-6=0
求函数f(x)的解析式
若对任意的x∈[ ¼，2 ]都有f(x)≥t²-2t-1成立，求函数g(t)=t²+t-2的最值
检查一下题目,若完全无误追问我一下,我就发过程了.
再问： 嗯，谢谢提醒，你说了我才发现打错了一个字。 题目已经修改过了（把一个平方改成立方）
再答： (1) f'(x)=3ax²-2bx+9，f(x)在x=1处的切线为y=-3x+6，所以f(1)=3，斜率即f'(1)=-3，所以有方程：a-b+9+2=3，3a-2b+9=-3，解得a=4，b=-12，所以f(x)=4x³-12x²+9x+2。 (2) 设当x∈[ 1/4，2 ]，f(x)的最小值为m。因为对任意的x∈[ 1/4，2 ]都有f(x)≥t²-2t-1成立，有m≥t²-2t-1。所以先求m，f'(x)=12x²-24x+9=3(2x-1)(2x-3)，所以当x=1/2或3/2时，f'(x)=0。因为1/2，3/2∈[ 1/4，2 ]，所以最值肯定在f(1/4)，f(1/2)，f(3/2)，f(2)中取，其中最小值m=f(3/2)=2。所以2≥t²-2t-1，即t²-2t-3≤0，即(t+1)(t-3)≤0，解得-1≤t≤3，即g(t)定义域为[ -1，3 ]。g(t)对称轴为t=-1/2，而-1/2∈[ -1，3 ]，所以g(t)的最值必在g(-1)，g(-1/2)，g(3)中取，其中最大值为g(3)=10，最小值为g(-1/2)=-9/4。
再问： 第一题中,f(1)为什么=3？
再答： 因为切线方程为y=-3x+6，当x=1时，y=3，即切点为(1，3)，f(x)必须过切点，所以f(1)=3。
再问： 嗯，谢谢提醒，你说了我才发现打错了一个字。 题目已经修改过了（把一个平方改成立方）
再答： (1) f'(x)=3ax²-2bx+9，f(x)在x=1处的切线为y=-3x+6，所以f(1)=3，斜率即f'(1)=-3，所以有方程：a-b+9+2=3，3a-2b+9=-3，解得a=4，b=-12，所以f(x)=4x³-12x²+9x+2。 (2) 设当x∈[ 1/4，2 ]，f(x)的最小值为m。因为对任意的x∈[ 1/4，2 ]都有f(x)≥t²-2t-1成立，有m≥t²-2t-1。所以先求m，f'(x)=12x²-24x+9=3(2x-1)(2x-3)，所以当x=1/2或3/2时，f'(x)=0。因为1/2，3/2∈[ 1/4，2 ]，所以最值肯定在f(1/4)，f(1/2)，f(3/2)，f(2)中取，其中最小值m=f(3/2)=2。所以2≥t²-2t-1，即t²-2t-3≤0，即(t+1)(t-3)≤0，解得-1≤t≤3，即g(t)定义域为[ -1，3 ]。g(t)对称轴为t=-1/2，而-1/2∈[ -1，3 ]，所以g(t)的最值必在g(-1)，g(-1/2)，g(3)中取，其中最大值为g(3)=10，最小值为g(-1/2)=-9/4。
再问： 第一题中,f(1)为什么=3？
再答： 因为切线方程为y=-3x+6，当x=1时，y=3，即切点为(1，3)，f(x)必须过切点，所以f(1)=3。