作业帮证明:若三角形的内心与重心为同一点,则这个三角形为正三角形
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 06:02:02
证明:若三角形的内心与重心为同一点,则这个三角形为正三角形
不妨设点O是△ABC的重心
连接AO,并延长AO交BC于点D
连接BO,并延长BO交CA于点E
连接CO,并延长CO交AB于点F
则AD,BE,CF分别是边BC,CA,AB上的中线
∴S△ABD＝S△ACD,S△OBD＝S△OCD (等底同高的三角形面积相等)
∴S△ABD－S△OBD＝S△ACD－S△OCD
即S△AOB＝S△AOC
同理,可得：S△COA＝S△COB,S△BOA＝S△BOC
即S△OBC＝S△OCA＝S△OAB
过点O作OG⊥BC于点G,OH⊥CA于点H,OG⊥AB于点I
∵点O是△ABC的内心
∴OG＝OH＝OI
∵OG,OH,OI分别是△OBC,△OCA,△OAB的高
∴BC＝CA＝AB
∴△ABC是正三角形
连接AO,并延长AO交BC于点D
连接BO,并延长BO交CA于点E
连接CO,并延长CO交AB于点F
则AD,BE,CF分别是边BC,CA,AB上的中线
∴S△ABD＝S△ACD,S△OBD＝S△OCD (等底同高的三角形面积相等)
∴S△ABD－S△OBD＝S△ACD－S△OCD
即S△AOB＝S△AOC
同理,可得：S△COA＝S△COB,S△BOA＝S△BOC
即S△OBC＝S△OCA＝S△OAB
过点O作OG⊥BC于点G,OH⊥CA于点H,OG⊥AB于点I
∵点O是△ABC的内心
∴OG＝OH＝OI
∵OG,OH,OI分别是△OBC,△OCA,△OAB的高
∴BC＝CA＝AB
∴△ABC是正三角形
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