判断下列级数的收敛性,如果级数收敛求其和

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 01:51:38

判断下列级数的收敛性,如果级数收敛求其和
（1）1-1/3+1/9-1/27++···+(-1)^(n-1)·1/3^(n-1)+···
(2)1/3+1/6+···+1/3n+···
(3) ∞ Σn=1 1/(2n-1)(2n+1)
(4)∞ Σ n=1(√ (n+1)-√ n
(5)1/2+1/3+1/4+1/9+1/8+1/27+1/16+1/81+···
(6)1/3-2/5+3/7-4/9+···+(-1)^(n+1)·n/2n+1···

多了,怪不得没人理,看着这么多天了,就理一理.
　　（1）∑(n≥1)(-1/3)^(n-1) = 1/[1-(-1/3)] = 3/4（是几何级数,q=-1/3,收敛的）.
　　（2）1/3+1/6+···+1/3n+··· = (1/3)∑(1/n),是调和级数,发散的.
　　（3）Σ(n≥1)[1/(2n-1)(2n+1)] 是收敛的,可通过其部分和来求和：
　　Sn = Σ(1≤k≤n)[1/(2k-1)(2k+1)]
　　　　= (1/2)Σ(1≤k≤n)[1/(2k-1)-1/(2k+1)]
　　　　= 1-1/(2n+1),
接下来取极限,你懂的,…….
　　（4）Σ(n≥1)[√(n+1)-√n],用（3）的方法可知其发散.
　　（5）1/2+1/3+1/4+1/9+1/8+1/27+1/16+1/81+··· = ∑(n≥1){[(1/2)^(n-1)]+[(1/3)^(n-1)]},收敛的,用（1）的方法求和.
　　（6）∑(n≥1)[(-1)^(n+1)][n/(2n+1)],通项不以0为极限,故发散.

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