作业帮求线性代数题答案 问题详见补充
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/01 09:04:49
求线性代数题答案 问题详见补充
2、已知二次型f（x1,x2）=5x12+2a x1x2+5x22(a>0)经正交变换x=Py化成了标准形f=7y12+b y22,求a,b的值及所有正交变换的矩阵P.
2、已知二次型f（x1,x2）=5x12+2a x1x2+5x22(a>0)经正交变换x=Py化成了标准形f=7y12+b y22,求a,b的值及所有正交变换的矩阵P.
A=5 a B=7 0
a 5 0 b
f=x^TAx=(Py)^TA(Py)=y^T(P^TAP)y
则B=P^TAP=P^(-1)AP
则B∽A
|B|=7b=|A|=25-a²
|A-λE|=5-λ a =λ²-10λ+25-a²
a 5-λ
|B-λE|=7-λ 0 =λ²-(7+b)λ+7b
0 b-λ
因为相似矩阵有相同的特征多项式
所以10=7+b 25-a²=7b
得b=3,a=2
特征值为λ1=7,λ2=3
对应的特征向量为p1=1 p2=1
1 -1
单位化得e1=1/√2 e2=1/√2
1/√2 -1/√2
P=1/√2 1/√2
1/√2 -1/√2
a 5 0 b
f=x^TAx=(Py)^TA(Py)=y^T(P^TAP)y
则B=P^TAP=P^(-1)AP
则B∽A
|B|=7b=|A|=25-a²
|A-λE|=5-λ a =λ²-10λ+25-a²
a 5-λ
|B-λE|=7-λ 0 =λ²-(7+b)λ+7b
0 b-λ
因为相似矩阵有相同的特征多项式
所以10=7+b 25-a²=7b
得b=3,a=2
特征值为λ1=7,λ2=3
对应的特征向量为p1=1 p2=1
1 -1
单位化得e1=1/√2 e2=1/√2
1/√2 -1/√2
P=1/√2 1/√2
1/√2 -1/√2