求∫∫∫z√（x^2+y^2+z^2)dxdydz,其中D是由球面x^2+y^2+z^2《=1及z>=√3√（x^2+y

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 04:54:24

求∫∫∫z√（x^2+y^2+z^2)dxdydz,其中D是由球面x^2+y^2+z^2《=1及z>=√3√（x^2+y^2)所围成的闭区域

先求球面与圆锥面的交线：x²+y²+z²=1与z=√3√（x²+y²)相交得：
x²+y²+3x²+3y²=1,则x²+y²=1/4,此时z=√3/2
因此球面与圆锥交于曲线：x²+y²=1/4,z=√3/2
下面求圆锥的半顶角α：在圆锥面上任取一点(1,0,√3),可求得tanα=1/√3,因此α=π/6
下面用球坐标：
∫∫∫z√(x²+y²+z²)dxdydz
=∫∫∫ rcosφr*r²sinφ drdφdθ
=∫[0---->2π] dθ∫[0---->π/6] cosφsinφ dφ∫[0--->1/2] r⁴ dr
其中：∫[0---->2π] dθ=2π
∫[0---->π/6] cosφsinφ dφ=∫[0---->π/6] sinφ dsinφ=(1/2)sin²φ |[0---->π/6]=1/8
∫[0--->1/2] r⁴ dr=(1/5)r⁵ |[0--->1/2]=1/160
因此：原积分=2π*(1/8)*(1/160)=1/640
再问：错了，答案是π/20，不过你谢谢提醒我角度是π/3.
再答：我把角度搞错了？懒得重算了，既然你已做出来了，我就不做了，采纳我吧。

3道高数题,1,函数F(x,y,z)=(e^x) * y * (z^2) ,其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz= ∫∫∫(xy)dxdydz ,其中Ω是由柱面x^2+y^2=1及平面z=1,z=0,x=0,y=0所围成的在第一卦限的闭 ∫∫∫Ω√x^2+y^2+z^2dv,Ω是由球面x^2+y^2+z^2=z所围成的区域?用球面坐标变换求上述三重积分. 计算三重积分∫∫∫xy^2z^3dxdydz,其中积分面积是由z=xy,y=x,x=1,z=0所围成的闭区域, 计算三重积分∫∫∫xy^2z^3dxdydz,其中积分面积是由z=xy,y=x,x=1,z=0所围成的闭区域. ∫∫∫（x+y+z）∧2dV,其中Ω由锥面z=√（x∧2+y∧2）和球面x∧2+y∧2+z∧2=4所围立体, 三重积分计算∫∫∫(ycos(x+z)）dxdydz,Ω由y=√x,y=0,z=0,x+z=π/2围成带绝对值的三重积分∫∫∫ |z-x^2+y^2| dxdydz,（注意这里有绝对值）其中空间闭曲面由z=0,z=1及曲面计算三重积分∫∫∫z方dxdydz,其中Ω由z=根号下x^2+y^2与z=1和z=2围成的空闭区用投影法和截面法分别计算求三重积分I=∫∫∫z^2dxdydz,Ω为三个坐标平面及平面x+y+z=1,及x+y+z=2所投影法和截面法求三重积分I=∫∫∫z^2dxdydz,Ω为三个坐标平面及平面x+y+z=1,及x+y+z=2所围成空间闭求三重积分∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz 曲面是x^2+y^2=z^2 和z=2围成的区域