线性代数中行,列向量的问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 05:49:31

线性代数中行,列向量的问题
设 mXn 阶的矩阵A,nXr 阶的矩阵B,以及矩阵C=AB.
证明（1）若A和B的列向量均为线性无关的,则C的列向量也是线性无关的.（2）若A和B的行向量均为线性无关的,则C的行向量也是线性无关的.

证: (1) 设x为r维列向量, 且 Cx=0
即有 ABX=0
因为 A 的列向量组线性无关, 所以 BX=0
因为 B 的列向量组线性无关, 所以 X=0
所以 CX=0 只有零解
所以 C 的列向量组线性无关.
(2) 由已知A和B的行向量均为线性无关
所以A^T和B^T的列向量组线性无关
由(1)知 C^T=B^TA^T 的列向量组线性无关
即 C 的行向量组线性无关.

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