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设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点,(1)试用向量证明PQ∥AB,(2)若AB=3

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 21:45:00
设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点,(1)试用向量证明PQ∥AB,(2)若AB=3
CD,求PQ:AB的值
向量常用的一个性质  若线段AB中点为O  则对任意点C  都有CA+CB=2CO(平行四边形法则)
(C是随便选的一个点,你喜欢可以选别的
图就不画了,这里对任意情况给出证明,向量的特点是不管点位置如何,向量的加减遵循点的位置顺序,比如AB+BC=AC  点的位置是不影响的)
 
Q为BD中点  则CB+CD=2CQ,  P为AC中点 则CA=2CP
∴2PQ=2CQ-2CP=CB+CD-CA=CB+CD+AC=AB+CD  (AC+CB=AB)
设向量CD=λAB,则PQ=(λ+1)/2*AB ①
 梯形ABCD即AB长度与CD长度不等,λ≠-1 ,故PQ=非零常数倍AB  即PQ∥AB
向量AB与CD反向,长度为3倍 故向量AB=-3向量CD  即λ=-1/3代入①式
得到PQ:AB=1/3