（2007•东城区一模）我们给出如下定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/19 15:24:10

（2007•东城区一模）我们给出如下定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．
（1）若∠A=2∠B，且∠A=60°，求证：a²=b（b+c）．
（2）如果对于任意的倍角三角形ABC（如图），其中∠A=2∠B，关系式a²=b（b+c）是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．

（1）证明：∵∠A=2∠B，且∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴a²+b²=c²，c=2b，
∴a²=c²-b²=（2b）²-b²=3b²=b²+2b²=b²+bc=b（b+c）．…（2分）

（2）关系式a²=b（b+c）仍然成立．…（3分）
证明：如图，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD．…（4分）
则△ACD为等腰三角形，
∴∠ACD=∠D，
∵∠BAC为△ACD的一个外角，
∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠D，

∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，
∴BD=AB+AD=b+c，
又∵∠D为△ACD与△CBD的一个公共角，
∴△ACD∽△CBD．…（4分）
∴
CD
BD＝
AC
BC，即
a
b+c＝
b
a，
∴a²=b（b+c）．…（6分）

（3）若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a²=b（b+c），且a＞b．
当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，（n为大于1的正整数）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）•（2n-1），
解得：n=5，
∴a=6，b=4，c=5，可以证明这个三角形中，∠A=2∠B；
当c＞a＞b或a＞b＞c时，
均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形．
∴边长为4，5，6的三角形为所求．…（8分）

已知一个等腰三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,求这个三角形的三个内角的度数对于一般三角形而言,若一个内角是另一个内角的两倍,则称这种三角形为倍角三角形．而在倍角三角形ABC中,三边为abc,而角（2013•徐汇区一模）“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行三角形中的一个内角是80度,是另一个内角的2倍,那么第三个内角是（）度,这个三角形是（）三角形如果一个三角形的外角等于与它相邻内角的3倍,另有一内角为32°,求这个三角形的各内角度数三角形的一个内角是另一个内角的2倍,而第三个内角的和大60度,求这个三角形的三个内角的度数三角形中 ,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20度三角形的一个内角是86度,是另一个内角的2倍,第三个角是多少度?这个三角形是什么三角形呢? 三角形中的一个内角是80度,是另外一个内角的2倍这个三角形是（）三角形一个三角形中,一个内角的度数等于另外两个内角度数的和的2倍,这是个什么三角形三角形的应用题如果一个三角形的外角等于它相邻内角的3倍,另有一内角为32°,求这个三角形的各内角度数.马上要! 一个三角形中,一个内角的度数等于另外两个内角度数的2倍,这个是什么三角形?最大的角是几度?