用微积分求得的曲线长度是否是曲线的精确长度?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 06:14:44

用微积分求得的曲线长度是否是曲线的精确长度?
微积分的基本思想是“以曲代直”,但是我觉得在用微积分计算曲线长度时,虽然对积分变量取了极限（其实,为什么是取了极限我还是不清楚的）,能够使'用于代替曲线的直线段的长度趋向于0,但直线段只是趋向于0,也就是说直线段还是直线段,则由这些直线段组成的“线”并不是曲线,只是近似于曲线,那么,为什么有资料上说“对原函数的导数中的积分变量取极限后就可以求得原函数所代表的曲线的精确长度”呢?
（我只是一个高中生,刚刚接触到微积分,知识和能力都不够,但我很希望能弄明白这个问题以帮助我理解微积分,希望哪位高手可以仔细给我讲讲,）

既然是高中生,那我就用通俗易懂的语言来解释这个问题~
求曲线长度呢,这个里面涉及到的积分有些复杂,不如把问题先简单化,从最简单的有理数说起,0.99...当9的个数区域无穷的时候,按照极限的说法,就是1,但是我仍然可以咬文嚼字,怎么可能是1啊,这里面还差一个0.0...1呢!
所以我有必要说下极限是什么意思.函数极限就是当一个序列无限接近一个点的时候函数值与一个值得距离“无限小”（数列极限亦是如此）,既然无限小,那么就可以认为我的极限就是它了,比如1/n,n→∞的时候肯定不为0,但是与0无限趋近,所以就能说他的极限是0.
回到这个问题上面来,曲线积分是把线段分割无限次然后累加起来.那么分割的次数n越多,就越精确,以至于可以达到“极限”的精度.一段曲线的长度肯定是一定的,那么这个极限肯定也是存在的.
那么到底什么是“精确长度”呢?
精确长度就是把曲线弄直,首尾连接起来的直线距离.前面说了我可以无限的分割这个曲线然后累加长度,那么我就可以无限的趋近“真实”的长度.这个里面就是极限思想.既然有极限,那么就跟实际值无限趋近,这就是0.99...与1的区别,如果说1-0.1^n是我求得式子的通项,1是精确值,那么我通过n的无穷大可以让这个数“近似等于”1,也就是lim (1-0.1^n)=1 (n→∞),同理,曲线长度这里也会是“精确的”.
纯手打,若有不懂请追问~不要被无用的答案所困扰~
再问：您是说当那一点点误差可以忽略的时候就可以认为所得到的结果就是”精确”的吗？（真的太感谢您了，谢谢您！）
再问：您是说当那一点点误差可以忽略的时候就可以认为所得到的结果就是”精确”的吗？（真的太感谢您了，谢谢您！）
再答：其实那一点误差叫做“无穷小”，这个无穷小量可以小于任意一个指定的正数（再次强调，是任意）。

也就是说这个数我当n很大的时候这个误差已经被“消灭”了，所以得到的是精确值
再问：谢谢您啦！嘿嘿，以后有难题我还问您！

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