作业帮绝对值三角不等式
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/19 19:09:57
已知函数f(x)的定义域为[0,1],f(0)=f(1),且对任意不同的x1,x2∈[0,1]都有│f(x2)-f(x1)│
解题思路： 本题主要考查抽象函数用赋值法求函数值与用单调性定义来证明函数的单调性以及转化化归思想的应用．
解题过程：
如果对于任意0<x<1,总有f(x)=f(0)=f(1),
则：|f(x2)-f(x1)|=0
所以：显然|f(x2)-f(x1)|<1/2成立·
下面我们讨论其它情况，
设当x=m, f(m)为最大值；当x=n, f(n)为最小值, (其中0<m<1; 0<n<1)
当m<n，则由|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|，可以得到：
f(m)-f(0)<m
f(m)-f(n)<n-m
f(1)-f(n)<1-n
将以上三式相加得：2f(m)-2f(n)+f(1)-f(0)<1
而f(0)=f(1)
所以|f(m)-f(n)|<1/2
当n<m，则由|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|，可以得到：
f(0)-f(n)<n
f(m)-f(n)<m-n
f(m)-f(1)<1-m
将以上三式相加得：2f(m)-2f(n)+f(0)-f(1)<1
而f(0)=f(1)
所以：|f(m)-f(n)|<1/2
对于f(0)和f(1)本身就是极大值或极小值的情况，我们可以设当x=m, f(m)为最小值或极大值，
用以上相似的方法，我们可以求出|f(m)-f(1)|<1/2
所以，我们证明了：极大值和极小值差的绝对值<1/2
而显然：|f(x2)-f(x1)|<=极大值和极小值差的绝对值
所以：|f(x2)-f(x1)|<1/2
综合以上：|f(x2)-f(x1)|<1/2成立·
解题过程：
如果对于任意0<x<1,总有f(x)=f(0)=f(1),
则：|f(x2)-f(x1)|=0
所以：显然|f(x2)-f(x1)|<1/2成立·
下面我们讨论其它情况，
设当x=m, f(m)为最大值；当x=n, f(n)为最小值, (其中0<m<1; 0<n<1)
当m<n，则由|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|，可以得到：
f(m)-f(0)<m
f(m)-f(n)<n-m
f(1)-f(n)<1-n
将以上三式相加得：2f(m)-2f(n)+f(1)-f(0)<1
而f(0)=f(1)
所以|f(m)-f(n)|<1/2
当n<m，则由|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|，可以得到：
f(0)-f(n)<n
f(m)-f(n)<m-n
f(m)-f(1)<1-m
将以上三式相加得：2f(m)-2f(n)+f(0)-f(1)<1
而f(0)=f(1)
所以：|f(m)-f(n)|<1/2
对于f(0)和f(1)本身就是极大值或极小值的情况，我们可以设当x=m, f(m)为最小值或极大值，
用以上相似的方法，我们可以求出|f(m)-f(1)|<1/2
所以，我们证明了：极大值和极小值差的绝对值<1/2
而显然：|f(x2)-f(x1)|<=极大值和极小值差的绝对值
所以：|f(x2)-f(x1)|<1/2
综合以上：|f(x2)-f(x1)|<1/2成立·