作业帮三百分系列之二——数论函数之1 1=2
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 08:30:46
三百分系列之二——数论函数之1 1=2
这次我是做标题党,其实这个问题和歌德巴赫猜想无关 不过不了解素性校验公式的就没有必要看题啦百度知道不适合我,没有问题会要等到14天以后才来解决 所以准备出几道题来把攥的分送掉,以后就不常来啦 之所以标题是1 1=2,是因为这道题做出来有100分,另外副题答出来也有100分注意,如果你回答以后,想要改动,千万不要直接编辑,就怕到时候有人抄袭首先定义一个数论τ函数 令τ(a,b)=τ 有a,b,τ为正整数a^n mod b=a^(n τ) mod b τ为最小的周期,τ>=1例如：τ(2,11)=10 τ(3,11)=5 τ(5,11)=5 τ(7,11)=10 τ(11,11)=1第一问 求证：定义{P_n}是奇质数序列 n为自然数P_1=3 P_2=5 P_3=7 .依此类推i,j∈[1,∞)也是自然数域的有否存在质数a对应任意i,j ij 令等式 τ(a,P_i)=τ(a,P_j) 都不成立第一问就是要证明或证否这样的质数a的存在性?
晕一个知道的编辑系统，都排成这样啦
第一问：
定义{P_n}是奇质数序列 n为自然数
P_1=3 P_2=5 P_3=7 .....依此类推
i ,j∈[1,∞)也是自然数域
有否存在互不相等的质数 a ,P_i ,P_j
满足:τ(a,P_i)≠τ(a,P_j) 对应任意i ,j i≠j
第二问：
是否存在整数a ,m
对于任意 i>m
有τ(a,P_i)=P_i-1
答出此问既追加100分
这次我是做标题党,其实这个问题和歌德巴赫猜想无关 不过不了解素性校验公式的就没有必要看题啦百度知道不适合我,没有问题会要等到14天以后才来解决 所以准备出几道题来把攥的分送掉,以后就不常来啦 之所以标题是1 1=2,是因为这道题做出来有100分,另外副题答出来也有100分注意,如果你回答以后,想要改动,千万不要直接编辑,就怕到时候有人抄袭首先定义一个数论τ函数 令τ(a,b)=τ 有a,b,τ为正整数a^n mod b=a^(n τ) mod b τ为最小的周期,τ>=1例如：τ(2,11)=10 τ(3,11)=5 τ(5,11)=5 τ(7,11)=10 τ(11,11)=1第一问 求证：定义{P_n}是奇质数序列 n为自然数P_1=3 P_2=5 P_3=7 .依此类推i,j∈[1,∞)也是自然数域的有否存在质数a对应任意i,j ij 令等式 τ(a,P_i)=τ(a,P_j) 都不成立第一问就是要证明或证否这样的质数a的存在性?
晕一个知道的编辑系统，都排成这样啦
第一问：
定义{P_n}是奇质数序列 n为自然数
P_1=3 P_2=5 P_3=7 .....依此类推
i ,j∈[1,∞)也是自然数域
有否存在互不相等的质数 a ,P_i ,P_j
满足:τ(a,P_i)≠τ(a,P_j) 对应任意i ,j i≠j
第二问：
是否存在整数a ,m
对于任意 i>m
有τ(a,P_i)=P_i-1
答出此问既追加100分
第一问
如果算上a本身,那么不存在这样的a
如果存在,那么a-1不能有奇素数因子p,因为τ(a,p)=τ(a,a)=1
于是a-1=2^k,如果k=0,a=2,由τ(2,23)=τ(2,89)=11知不符合；
同理a+1不能有2个不同的奇素因子q,r,因为τ(a,q)=τ(a,r)=2
于是a+1=2^l*s^n,s为奇素数
注意2^l*s^n-2^k=2,那么l,k中有一个为1,如果k=1,a=3,由14楼知不符合；于是l=1,且s^n-2^(k-1)=1如果n>1容易知道只能s=3,n=2,k-1=3,a=17,这样τ(17,5)=τ(17,29)=4,不符合,于是n=1,即s=2^(k-1)+1,但a=2^k+1和s都是素数,那么k和k-1都是2的幂次,只能k=2,a=5,由τ(5,11)=τ(5,71)=5知不符合
第二问
如果存在,取一个不整除a-1的奇素数q,并做
bn=(a^(q^n)-1)/(a^(q^(n-1))-1)
如果某素数r|bm,且r|bn(mm,则
τ(a,P_i)=P_i-1整除q^n
但左边为偶数,右边为奇数,矛盾
如果算上a本身,那么不存在这样的a
如果存在,那么a-1不能有奇素数因子p,因为τ(a,p)=τ(a,a)=1
于是a-1=2^k,如果k=0,a=2,由τ(2,23)=τ(2,89)=11知不符合；
同理a+1不能有2个不同的奇素因子q,r,因为τ(a,q)=τ(a,r)=2
于是a+1=2^l*s^n,s为奇素数
注意2^l*s^n-2^k=2,那么l,k中有一个为1,如果k=1,a=3,由14楼知不符合；于是l=1,且s^n-2^(k-1)=1如果n>1容易知道只能s=3,n=2,k-1=3,a=17,这样τ(17,5)=τ(17,29)=4,不符合,于是n=1,即s=2^(k-1)+1,但a=2^k+1和s都是素数,那么k和k-1都是2的幂次,只能k=2,a=5,由τ(5,11)=τ(5,71)=5知不符合
第二问
如果存在,取一个不整除a-1的奇素数q,并做
bn=(a^(q^n)-1)/(a^(q^(n-1))-1)
如果某素数r|bm,且r|bn(mm,则
τ(a,P_i)=P_i-1整除q^n
但左边为偶数,右边为奇数,矛盾
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