作业帮2009清华自主招生试题改编（数学）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 03:29:34
2009清华自主招生试题改编（数学）
x＞0,y＞0,x+y=1,n∈N+,求证x^2n+y^2n≥1/2^(2n-1).好像用函数凹凸性解,也好像可以用三角函数解麻烦把步骤写详细些…… 感激不尽……
x＞0,y＞0,x+y=1,n∈N+,求证x^2n+y^2n≥1/2^(2n-1).好像用函数凹凸性解,也好像可以用三角函数解麻烦把步骤写详细些…… 感激不尽……
高中的公式,我基本忘了,不知道你们学过导数吗?
y=1-x
另S=x^2n+(1-x)^2n
S'=2n.x^(2n-1)-2n.(1-x)^2n
x=1/2,时,s'=0,有最小值 Smin=1/2^(2n-1)
证得：x^2n+y^2n≥1/2^(2n-1)
再问： （1—x）^2n怎么导
再答： （1—x）^2n=2n^(1-x)^(2n-1).(-x)', (-x)'=-1
哦前面的求导打错了S'=2n.x^(2n-1)-2n.(1-x)^(2n-1)
这个证明不完善，中间你要证明（0,1/2）区间，S' ＜0，这个区间单调递减
（1/2），S'＞0 该区间单调递增，所以x=1/2 是最小值。
再问： 是2n•（1-x）^（2n-1）吧
再答： -2n.(1-x)^(2n-1)，前面有负号，这种求导，是先对（1-x）整体求导，然后对（1-x）求导，也就是
（1—x）^2n=2n^(1-x)^(2n-1).(1-x)'=2n^(1-x)^(2n-1).(-x)'=-2n^(1-x)^(2n-1)
再问： 你把•打成^了，还有为什么有n有x你就知道他在x=1/2时取最小
再答： 前面告诉你了，（0,1/2）区间，S' ＜0，后半段（1/2）区间，S'＞0。
函数的一次导数在一个区间＜0，则该区间是单调递减函数，反之，如果＞0，则在该区间单调递增。因此1/2处为最小值。
再问： 已经知道了，谢谢
y=1-x
另S=x^2n+(1-x)^2n
S'=2n.x^(2n-1)-2n.(1-x)^2n
x=1/2,时,s'=0,有最小值 Smin=1/2^(2n-1)
证得：x^2n+y^2n≥1/2^(2n-1)
再问： （1—x）^2n怎么导
再答： （1—x）^2n=2n^(1-x)^(2n-1).(-x)', (-x)'=-1
哦前面的求导打错了S'=2n.x^(2n-1)-2n.(1-x)^(2n-1)
这个证明不完善，中间你要证明（0,1/2）区间，S' ＜0，这个区间单调递减
（1/2），S'＞0 该区间单调递增，所以x=1/2 是最小值。
再问： 是2n•（1-x）^（2n-1）吧
再答： -2n.(1-x)^(2n-1)，前面有负号，这种求导，是先对（1-x）整体求导，然后对（1-x）求导，也就是
（1—x）^2n=2n^(1-x)^(2n-1).(1-x)'=2n^(1-x)^(2n-1).(-x)'=-2n^(1-x)^(2n-1)
再问： 你把•打成^了，还有为什么有n有x你就知道他在x=1/2时取最小
再答： 前面告诉你了，（0,1/2）区间，S' ＜0，后半段（1/2）区间，S'＞0。
函数的一次导数在一个区间＜0，则该区间是单调递减函数，反之，如果＞0，则在该区间单调递增。因此1/2处为最小值。
再问： 已经知道了，谢谢