如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于A、B．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/22 10:17:54

如图，抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于A、B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若直线y=kx-1（k≠0），将四边形ABCD面积二等分，求k的值．
（3）设（2）中直线y=kx-1（k≠0）分别交x轴、y轴于E、F，在抛物线上是否存在点P，使得△AEF与△PEF面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（1）∵抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2），
∴

a+3a+b＝0
9a−3×3a+b＝2，
解得

a＝−
1
2
b＝2，
∴抛物线的解析式为y=-
1
2x²+
3
2x+2；

（2）令x=0，则y=2，；
令y=0，则-
1
2x²+
3
2x+2=0，
整理得，x²-3x-4=0，
解得，x₁=-1，x₂=4，
所以，点D（0，2），点B（4，0），
∵A（-1，0），C（3，2），
∴AB∥CD，且AD=BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
连接两底边中点的线段的中点坐标为（
3
2，1），
∵直线y=kx-1（k≠0），将四边形ABCD面积二等分，
∴直线必过点（
3
2，1），
∴
3
2k-1=1，
解得k=
4
3；

（3）存在．理由如下：
由（2）得，直线解析式为y=
4
3x-1，
令y=0，则
4
3x-1=0，解得x=
3
4，

所以，点E（
3
4，0），
∵△AEF与△PEF面积相等，
∴点P在过点A且与直线EF平行的直线上，或在过点A关于点E的对称点且与直线EF平行的直线上，
①点P在过点