作业帮某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 15:24:40
某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,
某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2根号3米,BC=1米；上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风）,MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
(3)若某种货物在储存过程中,需要通风口的面积达到2m²,通过计算说明该通风设施能否达到储存货物的要求.
（请看清数值,之后另行加分）
某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2根号3米,BC=1米；上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风）,MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
(3)若某种货物在储存过程中,需要通风口的面积达到2m²,通过计算说明该通风设施能否达到储存货物的要求.
（请看清数值,之后另行加分）
/>（1）由题意,当MN和AB之间的距离为0.5米时,MN应位于DC下方,且此时△EMN中MN边上的高为0.5米．
∴S△EMN= 12×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面积为0.5平方米．（2分）
（2）①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,
即0＜x≤1时,
△EMN的面积S= 12×2×x=x；（3分）
②如图2所示,当MN在三角形区域滑动,即1＜x＜1+ 3时,
如图,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,
∵E为AB中点,
∴F为CD中点,GF⊥CD,且FG= 3．
又∵MN∥CD,
∴△MNG∽△DCG．
∴ MNDC=GHGF,即 MN=2(3+1-x)3．（4分）
故△EMN的面积S= 12× 2(3+1-x)3×x
= -33x2+(1+33)x；（5分）
综合可得：S= {x,(0＜x≤1)-33x2+(1+33)x．(1＜x＜1+3)（6分）
（3）①当MN在矩形区域滑动时,S=x,所以有0＜S≤1；（7分）
②当MN在三角形区域滑动时,S=- 33x2+（1+ 33）x,
因而,当 x=-b2a=1+32（米）时,S得到最大值,
最大值S= 4ac-b24a= -(1+33)24×(-33)= 12+ 33（平方米）．（9分）
∵ 12+ 33＞1,
∴S有最大值,最大值为 12+ 33平方米．（10分）
∴S△EMN= 12×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面积为0.5平方米．（2分）
（2）①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,
即0＜x≤1时,
△EMN的面积S= 12×2×x=x；（3分）
②如图2所示,当MN在三角形区域滑动,即1＜x＜1+ 3时,
如图,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,
∵E为AB中点,
∴F为CD中点,GF⊥CD,且FG= 3．
又∵MN∥CD,
∴△MNG∽△DCG．
∴ MNDC=GHGF,即 MN=2(3+1-x)3．（4分）
故△EMN的面积S= 12× 2(3+1-x)3×x
= -33x2+(1+33)x；（5分）
综合可得：S= {x,(0＜x≤1)-33x2+(1+33)x．(1＜x＜1+3)（6分）
（3）①当MN在矩形区域滑动时,S=x,所以有0＜S≤1；（7分）
②当MN在三角形区域滑动时,S=- 33x2+（1+ 33）x,
因而,当 x=-b2a=1+32（米）时,S得到最大值,
最大值S= 4ac-b24a= -(1+33)24×(-33)= 12+ 33（平方米）．（9分）
∵ 12+ 33＞1,
∴S有最大值,最大值为 12+ 33平方米．（10分）