如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t（t≠0）交抛物线C于A，B

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/29 12:34:35

如图，已知抛物线y²=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t（t≠0）交抛物线C于A，B两点，且满足OA⊥OB．圆E是以（-p，p）为圆心，p为直径的圆．
（1）求抛物线C和圆E的方程；
（2）设点M为圆E上的任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程．

（1）由题意得2+
p
2=3，得p=2，
∴抛物线C和圆E的方程分别为：y²=4x；
（x+2）²+（y-2）²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立方程

y2＝4x
my＝x+t，
整理得y²-4my+4t=0，
由韦达定理得

y1+y2＝4m
y1y2＝4t…①
则x1x2＝(my1−t)(my2−t)＝m2y1y2−mt(y1+y2)+t2，
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，
即（m²+1）y₁y₂-mt（y₁+y₂）+t²=0，
将 ①代入上式整理得t²+4t=0，
由t≠0得t=-4．
故直线AB过定点N（4，0）．
∴当MN⊥l，动点M经过圆心E（-2，2）时到直线l的距离d取得最大值．
由k_MN=
2−0
−2−4=-
1
3，得k_l=3．
此时的直线方程为l：y=3（x-4），即3x-y-12=0．

设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直设抛物线 y2=2px （p＞0）的焦点为F 经过点F的直线交抛物线于A,B两点点C在抛物线的准线上且BC‖x轴如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF 如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．（2013•黄浦区二模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A（x1，y1），B 如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线L交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若BC=2BF,且AF=3,则此（2013•黄浦区二模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），已知抛物线方程为y2=2px（p＞0），过焦点F的直线l与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2），AA1、BB1垂已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物已知抛物线y^2=2px（p>0）,过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,求证：设抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点为F,经过F的动直线l交抛物线C于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点,且y w过抛物线y^2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若向量BC=3向量BF,则直线l的