已知(1-x^2)f"(x)+xf'(x)=x/(x+1)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 09:16:23

已知(1-x^2)f"(x)+xf'(x)=x/(x+1)
已知
1.(1-x^2)f"(x)+xf'(x)=x/(x+1)
在（-1,1）上成立
2.f(x)在（-1,1）上二阶可导
3.f(0)=0
4.f(0.5)=1.5+0.5*(pi/6)^2+pi/6
求f(x)

用分部积分配方法：.
(1-x^2)f "(x) + xf '(x) ＝ x/(x+1) 方程两边乘以(1-x^2)^(-3/2)
==> (1-x^2)^(-1/2) f "(x) + x(1-x^2)^(-3/2) f '(x) ＝ x(1-x^2)^(-3/2)/(x+1)
==> [ (1-x^2)^(-1/2) f '(x) ] ' ＝ x(1-x^2)^(-3/2)/(x+1)
==> (1-x^2)^(-1/2) f '(x) ＝ ∫ x(1-x^2)^(-3/2)/(x+1) dx
==> (1-x^2)^(-1/2) f '(x) ＝ ∫ (x-x^2)(1-x^2)^(-5/2) dx
==> (1-x^2)^(-1/2) f '(x) ＝ (1-x^3)(1-x^2)^(-3/2) / 3 + C1
==> f '(x) ＝ (1-x^3)(1-x^2)^(-1) / 3 + C1*(1-x^2)^(1/2)
==> f (x) ＝ ∫ [ (1-x^3)(1-x^2)^(-1) / 3 + C1*(1-x^2)^(1/2) ] dx
==> f (x) ＝ ∫ [ (1+x+x^2)/(3(1+x)) + C1*(1-x^2)^(1/2) ] dx
==> f (x) ＝ x^2/6 + ln(1+x) /3 + C1*[ x(1-x^2)^(1/2)/2 + arcsin(x)/2 ] + C2
==> f (x) ＝ x^2/6 + ln(1+x) /3 + C1*[ x(1-x^2)^(1/2) + arcsin(x) ] + C2 （C1为常数,1/2可去掉)
==> f (x) ＝ x^2 / 6 + ln(1+x) /3 + C1*[ x√(1-x^2) + arcsin(x) ] + C2 （到此步已验证正确)
根据初始条件解得:C2＝0,C1＝?
f(0.5)给的有点问题,C1的结果很复杂,不再计算.

已知函数f(x)=log1/2 (x+1) (x>=1) 1(xf(2x) 已知函数f(x)=x^2+1,x>=0.1.xf(2x) 已知∫f(x)dx=xf(x)-∫x/√(1+x^2)dx,则f(x)= 已知f(x)=(1/x)e^x,求∫xf"(x)dx 1）已知f(x)=x平方+3xf'(2),则f'(2)=? 已知f(x)=x^2+2xf'(1),则f 已知函数f(x)=x2+1,x>0,1 xf(2x)的x的取值范围是? 已知∫xf(x)dx=x/(根号1-x^2)+C,求∫1/f(x)dx 已知f(x)=x^2+∫xf(x)dx求f(x) 函数f(x)满足2f(x)+xf(-x)=x²+1,求f(x)解析式. 已知f(x)dx=x+c,则∫xf(1-x)dx= 已知函数f(x)的导函数为f'(x) 且f(x)=2xf'(1)+InX 则f'(X)等于多少然后f'1等于多少?