作业帮不定积分 x*sqrt(x+x^2) dx
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 04:41:07
不定积分 x*sqrt(x+x^2) dx
求不定积分 x*sqrt(x+x^2) dx
求不定积分 x*sqrt(x+x^2) dx
有sqrt(x+x^2)知-1≤x≤0
x+x^2=(x+1/2)^2-(1/2)^2
可以使用变换 x+1/2=(1/2)sect dx =(1/2)secttantdt
sect=2x+1 sqrt(x+x^2)=(1/2)tant
原积分=∫ (1/2)(sect-1)(1/2)tant (1/2)secttantdt
=(1/8)∫ (sect-1)secttan²tdt=(1/8)∫ (sect-1)sect（sec²t-1）dt
=(1/8)∫ (sect)^4-(sect)^3-(sect)^2+(sect)dt
∫sectdt=ln|sect+tant|+C1
∫(sect)^2dt=tant+C2
∫sec³t dt=∫sect dtant=secttant-∫tantdsect=secttant-∫tan²tsectdt
=secttant-∫sec³t dt+∫sectdt
所以∫sec³t dt=(1/2)secttant+(1/2)ln|sect+tant|+C3
∫(sect)^4dt=∫(sect)^2dtant=∫(tant)^2+1dtant=（1/3）（tant）^3+tant+C4
带入可得
原积分=（1/24）（tant）^3+(1/24)tant -(1/16)secttant-(1/16)ln|sect+tant|
-(1/8)tant+(1/8)ln|sect+tant|+C5
=（1/24）（tant）^3-(1/12)tant- (1/16)secttant+(1/16)ln|sect+tant|+C5
=（1/3） [sqrt(x+x^2)]^3 -(1/6)sqrt(x+x^2)-(1/8)(2x+1)sqrt(x+x^2)
+(1/16)ln|2x+1+sqrt(x+x^2)|+C
x+x^2=(x+1/2)^2-(1/2)^2
可以使用变换 x+1/2=(1/2)sect dx =(1/2)secttantdt
sect=2x+1 sqrt(x+x^2)=(1/2)tant
原积分=∫ (1/2)(sect-1)(1/2)tant (1/2)secttantdt
=(1/8)∫ (sect-1)secttan²tdt=(1/8)∫ (sect-1)sect（sec²t-1）dt
=(1/8)∫ (sect)^4-(sect)^3-(sect)^2+(sect)dt
∫sectdt=ln|sect+tant|+C1
∫(sect)^2dt=tant+C2
∫sec³t dt=∫sect dtant=secttant-∫tantdsect=secttant-∫tan²tsectdt
=secttant-∫sec³t dt+∫sectdt
所以∫sec³t dt=(1/2)secttant+(1/2)ln|sect+tant|+C3
∫(sect)^4dt=∫(sect)^2dtant=∫(tant)^2+1dtant=（1/3）（tant）^3+tant+C4
带入可得
原积分=（1/24）（tant）^3+(1/24)tant -(1/16)secttant-(1/16)ln|sect+tant|
-(1/8)tant+(1/8)ln|sect+tant|+C5
=（1/24）（tant）^3-(1/12)tant- (1/16)secttant+(1/16)ln|sect+tant|+C5
=（1/3） [sqrt(x+x^2)]^3 -(1/6)sqrt(x+x^2)-(1/8)(2x+1)sqrt(x+x^2)
+(1/16)ln|2x+1+sqrt(x+x^2)|+C