若偏导数连续,则可微分,为什么

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 05:22:01

若偏导数连续,则可微分,为什么
为什么说偏导数存在是函数可微分的充分条件?比如下述函数,如果没计算错误的话,它的对x和对y的偏导数应该都是恒为0,连续.但为什么这个多元函数（0,0）点是不可微的?这和可微分的充分条件不是矛盾了吗?望高手指教,
问题第一句说错了，应当是“为什么说偏导数连续是函数可微分的充分条件？抱歉

这个多元函数（0,0）点是可微的啊.两个偏导都在（0,0）点连续.明显可微.从mathematica的图上看（0,0）点也不是奇点.所以为什么不可微?

再问：是不可微的。详见我从书上截下来的不可微的证明过程
再答：那我知道怎么回事了。是我们把最开头的前提弄错了，即f关于x的偏导数和f关于y的偏导数并不是连续的。f“它的对x和对y的偏导数应该都是恒为0”这里弄错了。 f关于x的偏导数是含有y和x的，所以要判断f关于x的偏导数是否连续就要在（0,0）的邻域里判断。不妨就按书中说的设y=x，则f关于x的偏导数在x->0+时，可算得为1/(2*sqrt(2)),在x->0-时，却为-1/(2*sqrt(2))；所以f关于x的偏导数在（0,0）的邻域里不连续。之后的所谓矛盾也就不存在了。希望对你有帮助。

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