以下一道数学题（英语书写）求解!

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 08:40:24

以下一道数学题（英语书写）求解!
Provide a rational function with the folloiwing characteristics:
a.1 real zeros,one of the multiplicity 2; y-intercept= -0.5
b.vertical asymtotes x=-2 and x=3; slant asymtote y=2x+1
键入错误
a.3 real zeros,
自解.f(x)=[(x-1)^2(2x+3)]/[(x+2)(x-3)]

构造一个满足以下条件的实函数
a.有3个实数根,其中一个为二重根；y轴上的截距为-0.5
b.有垂直渐近线x=-2,x=3以及斜渐近线y=2x+1
设函数f(x)为所求函数
a、方程f(x)=0有3个实数根,其中一个为二重根
b、lim[x→-2] f(x)=lim[x→3] f(x)=∝；lim[x→∝] (f(x)/x)=2,lim[x→∝] (f(x)-2x)=1
不妨考虑有理函数f(x)=P(x)/Q(x),其中P(x),Q(x)为x的整多项式
由lim[x→-2] f(x)=lim[x→3] f(x)=∝得 Q(x)=k(x+2)(x-3)=k(x^2-x-6),k∈Z
由方程f(x)=0有3个实数根,其中一个为二重根得 P(x)=(ax-b)^2(cx-d),a,b,c,d∈Z
化简P(x)=(ax-b)^2(cx-d)
=(a^2x^2-2abx+b^2)(cx-d)
=a^2*cx^3-2abcx^2+b^2*cx-a^2*dx^2+2abdx-b^2*d
=(a^2*c)x^3-(2abc+a^2*d)x^2+(b^2*c+2abd)x-b^2*d
所以
f(x)/x=[(a^2*c)x^3-(2abc+a^2*d)x^2+(b^2*c+2abd)x-b^2*d] / (kx^3-kx^2-6kx)
f(x)-2x={[(a^2*c)x^3-(2abc+a^2*d)x^2+(b^2*c+2abd)x-b^2*d]-(2kx^3-2kx^2-12kx)} / (kx^2-kx-6k)
=[(a^2*c-2k)x^3-(2abc+a^2*d-2k)x^2+(b^2*c+2abd+12k)x-b^2*d] / (kx^2-kx-6k)
由lim[x→∝] (f(x)/x)=2得 a^2*c/k=2
由lim[x→∝] (f(x)-2x)=1得 a^2*c-2k=0,-(2abc+a^2*d-2k)/k=1
所以k=a^2*c/2=2abc+a^2*d
所以满足k=a^2*c/2=2abc+a^2*d的一切f(x)=[(ax-b)^2(cx-d)]/[k(x+2)(x-3)]均为所求函数
寻找特解
k=a^2*c/2=2abc+a^2*d
k/a=ac/2=2bc+ad∈Z
所以k能被a整除,ac能被2整除
令a=1,c=2
k=1=4b+d
令b=1
k=1=4+d
得d=-3
所以函数f(x)=[(x-1)^2(2x+3)]/[(x+2)(x-3)]即为所求

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