作业帮判断一反常积分敛散性?如果收敛求其值.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 07:15:27
判断一反常积分敛散性?如果收敛求其值.
∫ (0到+∞)e^-x^2dx
用lim[x趋于+∞]xe^-x^2 判断可以吗？不会求这个极限。
∫ (0到+∞)e^-x^2dx
用lim[x趋于+∞]xe^-x^2 判断可以吗？不会求这个极限。
这是泊松积分的1／2,泊松积分的值是π^(1/2),所以这个积分的值是
(1/2)π^(1/2)
(∫(∞,-∞)exp(-x^2) dx)*(∫(∞,-∞) exp(-x^2) dx) 把(∫(∞,-∞)exp(-x^2) dx)乘上自己
=(∫∞,-∞exp(-x^2) dx)*(∫(∞,-∞) exp(-y^2) dy) 积分与变量选取无关,第二个里面的x换成y
得到二重积分
化为极坐标下积分
原式=∫∫(∞,-∞)exp(-x^2-y^2) dxdy
=∫2π,0 dt∫(∞,0) exp(-r^2)rdr
=2π*1/2=π
开方
推出∫(∞,-∞) exp(-x^2) dx = π^(1/2)
再问： 具体怎么判断的 怎么算的 能说下吗？
再答： 我已经补充了证明过程，你看一下 这是个重要的结论，直接记住就行了。是可以直接用的。
再问： 懂了 ，最后问下啊 就是积分中0到2π是怎么出来的？
再答： 换成极坐标嘛，换元的同时换积分限
再问： 不积分，怎么判断收敛还是发散呢？
再答： 那你只能记一些常见的反常积分了.其实最终还是要积分的，还是要用定义才能判断
(1/2)π^(1/2)
(∫(∞,-∞)exp(-x^2) dx)*(∫(∞,-∞) exp(-x^2) dx) 把(∫(∞,-∞)exp(-x^2) dx)乘上自己
=(∫∞,-∞exp(-x^2) dx)*(∫(∞,-∞) exp(-y^2) dy) 积分与变量选取无关,第二个里面的x换成y
得到二重积分
化为极坐标下积分
原式=∫∫(∞,-∞)exp(-x^2-y^2) dxdy
=∫2π,0 dt∫(∞,0) exp(-r^2)rdr
=2π*1/2=π
开方
推出∫(∞,-∞) exp(-x^2) dx = π^(1/2)
再问： 具体怎么判断的 怎么算的 能说下吗？
再答： 我已经补充了证明过程，你看一下 这是个重要的结论，直接记住就行了。是可以直接用的。
再问： 懂了 ，最后问下啊 就是积分中0到2π是怎么出来的？
再答： 换成极坐标嘛，换元的同时换积分限
再问： 不积分，怎么判断收敛还是发散呢？
再答： 那你只能记一些常见的反常积分了.其实最终还是要积分的，还是要用定义才能判断