作业帮数学2(函数的定义域，值域，单调性)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 02:12:33
3.如果函数y=f(x)(x∈D)满足： ①f(x)在D上是单调函数； ②存在闭区间[a,b]⊑ D使f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b]. 那么就称函数y=f(x)为闭函数。 试判断函数y=x2+2x[x∈[-1,+∞)]是否为闭函数，如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a,b];如果不是闭函数， 请说明理由。
解题思路： 根据题目已知条件①f(x)在D上是单调函数，利用②f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b]，得知f(a)=a ，f(b)=b（当函数单调递增时）或f(a)=b, f(b)=a （当函数单调递减时）突破此题
解题过程：
由已知，函数y=x2+2x[x∈[-1,+∞)]可化为y=（x+1）2 -1 [x∈[-1,+∞)] ，
因此，此函数在其定义域上为单调递增函数。
假设存在区间[a,b]，则根据闭函数的定义，有：
f(a)=a ①
f(b)=b ② (a<b)
将① ②代入函数表达试，得
a2+2a=a
b2+2b=b (a<b)
解方程得: a=-1
b=0
[-1.0]在定义域[-1,+∞)中，故符合题意。
故综上，函数y=x2+2x[x∈[-1,+∞)]是闭函数符合条件的区间[a,b]为[-1.0]
注意：在高中数学中，给定一个新的定义，由此解题的情况不少，这类题一般不会太难，只需从给定条件中找到所给出的信息即可。
此题中注意(a<b)这一条件，以及最后定义域的验证。
由于时间仓促能力有限，有回答不周的地方还请及时与我联系。
最终答案：略
解题过程：
由已知，函数y=x2+2x[x∈[-1,+∞)]可化为y=（x+1）2 -1 [x∈[-1,+∞)] ，
因此，此函数在其定义域上为单调递增函数。
假设存在区间[a,b]，则根据闭函数的定义，有：
f(a)=a ①
f(b)=b ② (a<b)
将① ②代入函数表达试，得
a2+2a=a
b2+2b=b (a<b)
解方程得: a=-1
b=0
[-1.0]在定义域[-1,+∞)中，故符合题意。
故综上，函数y=x2+2x[x∈[-1,+∞)]是闭函数符合条件的区间[a,b]为[-1.0]
注意：在高中数学中，给定一个新的定义，由此解题的情况不少，这类题一般不会太难，只需从给定条件中找到所给出的信息即可。
此题中注意(a<b)这一条件，以及最后定义域的验证。
由于时间仓促能力有限，有回答不周的地方还请及时与我联系。
最终答案：略