已知圆C:x^2 +y^2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx,且l与圆C相交于P,Q两点,点M(0,b),且MP⊥M

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 03:23:03

已知圆C:x^2 +y^2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx,且l与圆C相交于P,Q两点,点M(0,b),且MP⊥MQ
求关于b和k的二元方程；求k的最小值

令P(x1,y1),Q(x2,y2)
则向量MP=(x1,y1-b),向量MQ=(x2,y2-b)
因MP⊥MQ
则向量MP*向量MQ=0
即x1x2+(y1-b)(y2-b)=0
即x1x2+y1y2-b(y1+y2)+b^2=0（1）

联立直线与圆方程有(k^2+1)x^2-2(k+1)x+1=0
由韦达定理有x1+x2=2(k+1)/(k^2+1),x1x2=1/(k^2+1)
而P、Q同在直线上
于是y1=kx1,y2=kx2
所以y1y2=k^2x1x2=k^2/(k^2+1),y1+y2=k(x1+x2)=2k(k+1)/(k^2+1)
由（1）式就得到1/(k^2+1)+k^2/(k^2+1)-2bk(k+1)/(k^2+1)+b^2=0
整理得(b-1)^2k^2-2bk+(b^2+1)=0

若整理成关于b的二元方程(k^2+1)b^2-2k(k+1)b+(k^2+1)=0
因b存在,即上述方程有解
则判别式⊿≥0
即有2k^3-k^2-1≥0
即有(k-1)(2k^2+k+1)≥0
注意到2k^2+k+1>0恒成立
所以k-1≥0
即k≥1,表明kmin=1

已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0直线L:y=kx,且L与圆C相交于P Q两点,已知点M（0,b）且MP垂直M 已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx,且l与圆C相交于P,Q两点,点M(0,b),且MP⊥MQ 已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx,且l与圆C相交于P、Q两点,点M（0,b）,且MP⊥MQ 已知圆C：X^2+Y^2-2X-2Y+1=0,直线L:Y=KX,且L与圆C相交于P、Q两点,点M（0,B）,且MP⊥MQ 已知圆C:x∧2+y∧2+-2x-2y+1=0,直线L:y=kx,且与圆相交于P,Q两点,M(0,b),且MP⊥MQ 已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx,且l与圆C交于P、Q两点,点M（0,b)满足MP⊥MQ. 以知圆C:x的平方+y的平方-2x-2y+1=0,直线L:y=kx,且L#与园C相交与P,Q两点,点M(0,b),且MP 已知圆C：x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx且l与圆C交与点P,Q两点点M（0,b)且MP垂直MQ 已知圆C: x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线L:y=kx,且L与圆C交与P、Q两点,点M（0,b）满足MP垂直M 已知圆 (x-1)^2+(y-1)^2=1直线L:y=kx且与圆C交于P.Q两点,点M（0,b）,且MP⊥MQ 已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线L:y=kx,且L与圆C交与P、Q两点,点M（0,b）满足MP垂直MQ 已知圆C：x2+y2一2x一2y+l=0，直线：y=kx，且与圆C交于P，Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．