帮忙找5个几何加辅助线的题!要有图和解!
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/23 20:45:57
帮忙找5个几何加辅助线的题!要有图和解!
【典型例题】 例3. 如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD交BD的延长线于E,证明:BD=2CE. 分析:这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题,可构造线段2CE,转化为证两线段相等的问题,分别延长BA,CE交于F,证△BEF≌△BEC,得,再证△ABD≌△ACF,得BD=CF. 证明:分别延长BA、CE交于点F ∵BE⊥CF ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF和△BEC中 ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∵∠BAC=90°,BE⊥CF ∴∠BAC=∠CAF=90°,∠1+∠BDA=90°,∠1+∠BFC=90° ∴∠BDA=∠BFC 在△ABD和△ACF中 ∴△ABD≌△ACF(AAS) ∴BD=CF ∴BD=2CE (三)加倍法和折半法 证明一条线段是另一条线段的两倍,常用如下方法:将较短线段延长一倍,然后证明它和较长线段相等,或将较长线段折半,然后证明它和较短线段相等,这种方法称为加倍法和折半法. 例4. 已知:如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,AB=DC,∠BAD=∠BDA. 求证:AC=2AE 分析:欲证AC=2AE,只要取AC的中点,证其一半与AE相等,或延长AE至等长,证其与AC相等,由于AE是△ABD的中线,故考虑延长AE至F,使EF=AE,证AF=AC.(此种方法我们又称为中线倍长法) 只要证△ABF≌△ADC,观察图形发现,可以证明△ADE≌△FBE,则可得出BF=AD,尚需条件∠ADC=∠FBA,而这可由外角的性质推出. 证明:延长AE至F,使EF=AE,连结BF ∵AE是△ABD的中线 ∴BE=ED 在△BEF和△DEA中 ∴△BEF≌△DEA ∴∠EBF=∠BDA,BF=DA ∵∠BAD=∠BDA ∴∠EBF=∠BAD 在△ADC和△FBA中 ∴△ADC≌△FBA ∴AC=AF 又∵AF=2AE ∴AC=2AE (四)利用角平分线的性质来添加辅助线 有角平分线(或证明是角平分线)时,常过角平分线上的点向角两边作垂线段,利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题. 例5. 已知:△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点P. 求证:AP平分∠BAC 证明:过P点作PD⊥AC于D点,PF⊥AB于F点,PE⊥BC于E点 ∵PC,BP为△ABC的∠B、∠C的外角平分线 PD⊥AC,PE⊥BC ∴PD=PE(角平分线性质) 同理:PF=PE ∴PD=PF(等量代换) ∴AP平分∠BAC(角平分线性质逆定理) 例6. 已知:如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于D,AB+BC=2BD. 求证:∠BAP+∠BCP=180° 分析:要证∠BAP+∠BCP=180°,而由图可知∠BAP+∠EAP=180°,故只要证∠EAP=∠BCP即可.由∠1=∠2,PD⊥BC,想到过P点向BA作垂线PE,有PE=PD,BE=BD,又由,得AE=CD,故△APE≌△CPD,从而有∠EAP=∠BCP,问题得证. 证明:过点P作PE⊥BA于E ∵PD⊥BC,∠1=∠2 ∴PE=PD(角平分线的性质) 在Rt△BPE和Rt△BPD中 ∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL) ∴BE=BD ∴∠PEB=∠PDC=90° 在△PEA和△PDC中 ∴△PEA≌△PDC ∴∠PCB=∠EAP ∵∠BAP+∠EAP=180° ∴∠BAP+∠BCP=180°