作业帮高数 多元积分 请您帮我看看我哪里出错了
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 13:45:24
高数 多元积分 请您帮我看看我哪里出错了
[D]∫∫√(x²+y²)dxdy=[-π/2,π/2]∫dθ[acosθ,a]∫r²dr+[π/2,3π/2]∫dθ[0,a]∫r²dr
=[-π/2,π/2]∫dθ(r³/3)︱[acosθ,a]+[π/2,3π/2]∫dθ(r³/3)︱[0,a]
=[-π/2,π/2](a³/3)∫(1-cos³θ)dθ+[π/2,3π/2](a³/3)∫dθ
=(a³/3){[-π/2,π/2]([θ-∫(1-sin²θ)d(sinθ)+(3π/2-π/2)}
=(a³/3){[θ-sinθ+sin³θ/3]︱[-π/2,π/2]+π}
=(a³/3){[π/2-1+1/3-(-π/2+1-1/3)]+π}=(a³/3)(2π-4/3)=[(6π-4)/9]a³.
注：积分域D是大圆里套个内切的小圆,因此该积分要分成两个积分之和,即[-π/2,π/2]∫∫+[π/2,3π/2]∫∫,两个积分中r的积分限也不一样.
=[-π/2,π/2]∫dθ(r³/3)︱[acosθ,a]+[π/2,3π/2]∫dθ(r³/3)︱[0,a]
=[-π/2,π/2](a³/3)∫(1-cos³θ)dθ+[π/2,3π/2](a³/3)∫dθ
=(a³/3){[-π/2,π/2]([θ-∫(1-sin²θ)d(sinθ)+(3π/2-π/2)}
=(a³/3){[θ-sinθ+sin³θ/3]︱[-π/2,π/2]+π}
=(a³/3){[π/2-1+1/3-(-π/2+1-1/3)]+π}=(a³/3)(2π-4/3)=[(6π-4)/9]a³.
注：积分域D是大圆里套个内切的小圆,因此该积分要分成两个积分之和,即[-π/2,π/2]∫∫+[π/2,3π/2]∫∫,两个积分中r的积分限也不一样.