作业帮过点A（1,0）的直线与圆C：x∧2+y∧2-6x-8y+9=0交于P,Q两点,与直线l：x+2y+4=0交于点N.若P
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/28 10:25:29
过点A（1,0）的直线与圆C：x∧2+y∧2-6x-8y+9=0交于P,Q两点,与直线l：x+2y+4=0交于点N.若PQ的中点为M,求证：|AM|·|AN|为定值.【【用参数方程解答】】真心求指导!
设过点A的直线方程为：y=kx-k,与圆交与P、Q两点,将y=kx-k,代入圆的方程得：
x^2+k^2(x^2-2x+1)-6x-8k(x-1)+9=0 化简得：
(1+k^2)x^2-(2k^2+8k+6)x+(k^2+8k+9)=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2)则有：
x1+x2=(2k^2+8k+6)/(1+k^2) x1x2=(k^2+8k+9)/(1+k^2)
P,Q在直线y=kx-k上,则有：y1=kx1-k y2=kx2-k y1+y2=k(x1+x2)-2k=k(2k^2+8k+6)/(1+k^2)-2k
=(8k^2+4k)/(1+k^2)
则M的横坐标为：xm=(x1+x2)/2=(k^2+4k+3)/(1+k^2)
M的纵坐标为：ym=(y1+y2)/2=(4k^2+2k)/(1+k^2)
直线y=kx-k与直线L的交点为：
y=kx-k
x+2y+4=0 联立解得 xn=(2k-4)/(2k+1) yn=-5k/(2k+1)
|AM|=√[(xm-1)^2+(ym-0)^2]=√{[(k^2+4k+3)/(1+k^2)-1]^2+[(4k^2+2k)/(1+k^2)]^2}
=√[(4k+2)^2/(1+k^2)]
|AN|=√[(xn-1)^2+(yn-0)^2]=√{[(2k-4)/(2k+1)-1]^2+[(-5k)/(2k+1)]^2}=5√[(1+k^2)/(2k+1)^2]
所以：
|AM|*|AN|=√[(4k+2)^2/(1+k^2)]*5√[(1+k^2)/(2k+1)^2]=10
再问： 多谢！不过普通方法会解，可是题目这里要求使用设参数求解……
再答： 题目没说呀、、、
再答： X^2+Y^2-6X-8Y+9=0 （x-3)^2+(y-4)^2=16 圆心C坐标为(3,4) 直线L:X+2Y+4=0 这种题,如果没巧妙的方法,对初中生简直就是折磨.巧妙方法是: AM与AN在两个相似三角形中,基于这个思路,只有连接圆心和点A,延长到已知直线L,交点为P. 过圆心C(3,4)和A(1,0)的直线为:y=2x-2(自己会算吧?) 它与直线L垂直.垂足就是交点P,圆心到直线L的距离CP=CA+AP都为定值,且三角形AMC和三角形ANP相似,AN:AP=AC:AM AN*AM=AP*AC是定值 或是这样您看行吗？采纳我吧！
再问： 虽然还是没有用要求的设参数的方法进行求解……不过现在自己会了，给采纳～有劳！
x^2+k^2(x^2-2x+1)-6x-8k(x-1)+9=0 化简得：
(1+k^2)x^2-(2k^2+8k+6)x+(k^2+8k+9)=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2)则有：
x1+x2=(2k^2+8k+6)/(1+k^2) x1x2=(k^2+8k+9)/(1+k^2)
P,Q在直线y=kx-k上,则有：y1=kx1-k y2=kx2-k y1+y2=k(x1+x2)-2k=k(2k^2+8k+6)/(1+k^2)-2k
=(8k^2+4k)/(1+k^2)
则M的横坐标为：xm=(x1+x2)/2=(k^2+4k+3)/(1+k^2)
M的纵坐标为：ym=(y1+y2)/2=(4k^2+2k)/(1+k^2)
直线y=kx-k与直线L的交点为：
y=kx-k
x+2y+4=0 联立解得 xn=(2k-4)/(2k+1) yn=-5k/(2k+1)
|AM|=√[(xm-1)^2+(ym-0)^2]=√{[(k^2+4k+3)/(1+k^2)-1]^2+[(4k^2+2k)/(1+k^2)]^2}
=√[(4k+2)^2/(1+k^2)]
|AN|=√[(xn-1)^2+(yn-0)^2]=√{[(2k-4)/(2k+1)-1]^2+[(-5k)/(2k+1)]^2}=5√[(1+k^2)/(2k+1)^2]
所以：
|AM|*|AN|=√[(4k+2)^2/(1+k^2)]*5√[(1+k^2)/(2k+1)^2]=10
再问： 多谢！不过普通方法会解，可是题目这里要求使用设参数求解……
再答： 题目没说呀、、、
再答： X^2+Y^2-6X-8Y+9=0 （x-3)^2+(y-4)^2=16 圆心C坐标为(3,4) 直线L:X+2Y+4=0 这种题,如果没巧妙的方法,对初中生简直就是折磨.巧妙方法是: AM与AN在两个相似三角形中,基于这个思路,只有连接圆心和点A,延长到已知直线L,交点为P. 过圆心C(3,4)和A(1,0)的直线为:y=2x-2(自己会算吧?) 它与直线L垂直.垂足就是交点P,圆心到直线L的距离CP=CA+AP都为定值,且三角形AMC和三角形ANP相似,AN:AP=AC:AM AN*AM=AP*AC是定值 或是这样您看行吗？采纳我吧！
再问： 虽然还是没有用要求的设参数的方法进行求解……不过现在自己会了，给采纳～有劳！
过点A(1,0)的直线与圆C:X^2 Y^2-6X-8Y 9=0交于两点P,Q,与直线L:X 2Y 4=0交于点N,若P
过点A（1,1）作直线L与X Y轴的正方向分别交于P Q两点 又分别过点P Q作直线2x+y=0的垂线
已知过点P(1,2)的一条直线l,与圆C:x^2+y^2-4x-2y-11=0交于M.N两点(1)若点P恰为线MN的中点
已知椭圆(x^2)/2+y^2=1及定点P(1,0).过点P的直线l交椭圆于A,B两点,交Y轴于点P,Q,若P,Q在线段
已知过点p(0,2)的直线l与抛物线y^2=4x交于AB两点,
已知过点p（0,2）的直线l与抛物线y∧2=4x交于a,b两点,o为坐标原点.
高二数学解析几何已知点P（2,0）及圆C：x^2+y^2-6x+4y+4=0 设过点P的直线L1与圆C交于M、N两点.当
已知过点A（1,1）,且斜率为-m（m>0）的直线l与x,y轴分别交于点P,Q .过P,Q分别做直线2x+y=0的垂线,
设圆C：X2+y2-2x-4y-6=0,过点A（0,3）作直线L交圆C于P,Q两点,若OP垂直于OQ,O为原点,求直线L
已知直线L过点P（2.1）,且与X轴Y轴正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,若L与直线y=x（x>0）交与点Q,则当
已知圆C；X方+Y方-2X-8=0,过点P(2,2)作直线L交圆C于点A,B两点1.判断点P与圆C的位置关系
1、已知直线x+y=0和x-y=0.点P(1,2),过点P作直线l与这两条直线交于x轴上方的两点A、B,当三角形AOB面