线性代数：关于用相似对角化反求A的问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/19 22:37:21

线性代数：关于用相似对角化反求A的问题
A是实对称矩阵,已经求出了由特征值构成的与A相似的对角矩阵B,由特征向量构成的但没有单位正交话的矩阵P,已经单位正交化的矩阵Q,
我的问题是：用P和P的逆矩阵反求出的A=PBP^(-1)是否等于用Q及其转置Q^T反求出的A'=QBQ^T.我做题的时候觉得是相等的就按照后面的一种来做的,参考答案是按照前一种做的,我的结果和答案不相同.

如果特征值没对应错的话, 答案应该是一样的.
对于实对称阵A, P和Q都是由其特征向量构成的可逆矩阵.
因此P^(-1)AP与Q^(-1)AQ是对角阵.
只要保证特征值顺序一致, 就有P^(-1)AP = Q^(-1)AQ = B.
于是当然有A = PBP^(-1) = QBQ^(-1).
需要注意的一个问题Q的各列需与B的特征值相对应.
另一个问题是由P正交化得到Q的操作是对列向量进行,
而且只对属于同一特征值的向量操作.
(当然, 属于不同特征值的特征向量彼此正交, 因此做了也没区别).
暂时只能想到这些可能出问题的地方, 你再检查一下计算?

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