求曲线x=acos3t，y=asin3t（a＞0）绕直线y=x旋转所成的曲面的表面积．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 14:06:58

求曲线x=acos³t，y=asin³t（a＞0）绕直线y=x旋转所成的曲面的表面积．

这是星形线，设所形成的旋转曲面为∑，∑的表面积为A
充分考虑到对称性（x=0，y=0，x=y，x=-y），有
表面积A是曲线在第一象限绕y=x旋转所得曲面面积的2倍
∴由旋转曲面的面积公式，得
A=2
∫
3π
4
π
42π
|x-y|

2
x′2+y′2dt
=6
2πa2[
∫
π
2
π
4(-cos3t+sin3t)sintcostt+
∫
3
π4
π
2(cos3t-sin3t)sintcostt]
=6
2πa2
2-2(
1

2)5
5=
12
2-3
5πa2

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