设轮船A有两个发动机，轮船B有四个发动机，如果半数或半数以上的发动机没有故障，轮船就能够安全航行，现设每个发动机发生故障

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 17:51:45

设轮船A有两个发动机，轮船B有四个发动机，如果半数或半数以上的发动机没有故障，轮船就能够安全航行，现设每个发动机发生故障的概率P是t的函数：P=1-e^-λt（其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正常数）．每个发动机工作相互独立．
（1）分别求出轮船A，B安全航行的概率（用P表示）；
（2）根据时间t的变化，比较轮船A和轮船B哪一个更能安全航行？（除发动机发生故障外，不考虑其他因素）．

（1）记轮船A，B安全航行为事件M、N，
轮船A安全航行，即A的两个发动机中至少有一个正常工作，则其对立事件为A的两个发动机都不能正常工作，
则P（M）=1-p²，
轮船B安全航行，即B的四个发动机中至少有二个正常工作，其对立事件B的四个发动机全部故障或只有一个正常工作，
则P（N）=1-p⁴-C₄¹p³（1-p）=1+3p⁴-4p³，
（2）p（M）-p（N）=（1-p²）-（1+3p⁴-4p³）=-p²（p-1）（3p-1），
①当p＜
1
3时，即1-e^-λt＜
1
3，解可得t＜
ln
3
2
λ时，p（M）＜p（N），轮船B能安全航行，
②当p=
1
3时，即1-e^-λt=
1
3，解可得t=
ln
3
2
λ时，p（M）=p（N），轮船A、B一样安全航行，
③当p＞
1
3时，即1-e^-λt＞
1
3，解可得t＞
ln
3
2
λ时，p（M）＞p（N），轮船A更能安全航行，
答：当p＜
1
3时，轮船B能安全航行，当p=
1
3时，轮船A、B一样安全航行，当p＞
1
3时，轮船A更能安全航行．

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