作业帮 > 数学 > 作业

三角形内任意一点O,三角形OBC、OAC、OAB的面积分别是S1、S2、S3,则是否有s1*OA+S2*OB+S3*OC

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 04:03:00
三角形内任意一点O,三角形OBC、OAC、OAB的面积分别是S1、S2、S3,则是否有s1*OA+S2*OB+S3*OC=0向量?
在△ABC内任取一点O,用S1,S2,S3分别表示△BOC,△COA,△AOB的面积,则S1*(向量OA)+S2*(向量OB)+S3*(向量OC)= 0向量.
延长AO交BC于点M
设|OM|=t,(t>0),|OA|=1, △OMB的面积为a,△OMC的面积为b.
则a+b=S1,向量OM= - t向量OA
S3∶a=|OA|∶|OM|=1∶t,即a=tS3,
S2∶b=|OA|∶|OM|=1∶t,即b=tS2,
代入a+b=S1,得t=S1/(S2+S3).
又a∶b=S3∶S2=|BM|∶|MC|,
∴向量BM=(S3/S2)向量MC=[S3/(S2+S3)]向量BC,
∴向量OM=向量OB+向量BM
=向量OB+向量BM
=向量OB +[S3/(S2+S3)]向量BC
=向量OB +[S3/(S2+S3)](向量OC-向量OB)
=[S2/(S2+S3)] 向量OB+[S3/(S2+S3)] 向量OC
由向量OM= - t向量OA,t=S1/(S2+S3),
得[S2/(S2+S3)] 向量OB+[S3/(S2+S3)] 向量OC=- [S1/(S2+S3)] 向量OA,
即S1向量OA+S2向量OB+S3向量OC=零向量.